随笔分类 - 密码学数学基础
群、环、域，初等数论
摘要：格基、向量范数、格上的困难问题、LWE问题、循环格与理想格
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摘要：离散对数问题和Shanks 算法、Pollard ρ 算法
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摘要：Carmichael 函数 \(\lambda(n)\) 定义： 对于正整数 \(n\)，Carmichael 函数 \(\lambda(n)\) 定义为最小的正整数 \(m\)，使得对于所有与 \(n\) 互素的整数 \(a\)，都有： \( a^m \equiv 1 \pmod{n} \) 性质
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摘要：布尔可满足性问题和合取范式（CNF）表示到代数攻击
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摘要：布尔函数的表示方法、重要指标，walsh变换与蝴蝶变换
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摘要：连分数 定义 设\(a_0,a_1,...,a_n,...\)是一个无穷实数序列，其中\(a_j>0,j≥1,n\)为非负整数。分数 \[a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}} \]称为有限连分数，如果\(a_0\)为
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摘要：设\(m＞1，(n, m)=1\), 如果方程 \[x^2≡n (mod m) \]有解，则称\(n\)为模\(m\)的二次剩余，否则称\(n\)为模\(m\)的二次非剩余。 Legendre符号 设为\(p\)素数，\(n\)为整数，关于变量\(n\)的函数 \(({n\over p})\)= 1
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摘要：模m的阶 定义 设\(m>1,(a,m)=1\) 则使得： \[a^d \equiv 1(mod m) \]成立的最小正整数\(d_0\)称为\(a\)模\(m\)的阶 记为\(\delta_m(a)\) 性质 设\(m>1,\quad n>1,\quad(a,m)=1\) 1.若\(\delta_
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摘要：欧拉函数 定义与 \(m\)互素的剩余类的个数记为\(\varphi(m), \varphi(m)\)称之为欧拉函数 关于欧拉函数的结论 定理1: (欧拉定理) 若\((k, m)=1,\) 则:\(k^{\varphi(m)} \equiv 1(\bmod m)\) 定理2: (费尔玛小定理) 若
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摘要：同余 \(n\)为自然数，\(a,b\)为任意两个整数，如果\(n|a-b\)，我们就称\(a\)与\(b\)模\(n\)同余，记作\(a \equiv b(modn)\) 模\(n\)同余具有自反性、对称性、传递性 全体整数集合\(Z\)可按模\(n（n>1）\)被分成了\(n\)个不同的集合，这
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摘要：带余除法 设\(a,b\)为整数，\(b>0\),则存在唯一整数\(q\)和\(r\)使得 $ a=qb + r,0\leq r <b $ 带余除法又称欧几里得除法 整除 定义 如果余数\(r=0\), 那么, 我们就称\(b\)整除了\(a\), 记作\(b|a\); 这时我们也称\(b\)是\(
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摘要：域 基本定义 定义：若\(R\)是一个环，并且\(R^*=R\setminus\{0\}\)对于乘法构成一个交换群，则称\(R\)为一个域 定义：交换除环叫作域 定理：域一定是整环 定理：有限整环一定是域 定义：只包含有限个元素的域称为有限域，其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(Galoi
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摘要：同构与同态 基本定义 设\(R\)和\(R'\)是两个环，\(f\)是\(R\)到\(R'\)的一个映射，如果\(\forall a,b\in R\),均有: \(f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)\) 则称\(f\)为从\(R\)到\(R'\)的同态映射 分类 若\(
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摘要：子环 定义 设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(S\)是\(R\)的非空子集，如果\(S\)关于\(R\)的运算也构成一个环，则称\(S\)为环\(R\)的子环 例：\((m\mathbb{Z},+,\cdot)\)是整数环\(\mathbb{Z}\)的子环，整数环\(\mathbb{Z}
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摘要：环 定义 设\(R\)是一个非空集合，在R上定义两种代数运算“+”和“·”，分别被称为加法和乘法，如果下列条件被满足： (1)\((R,+)\)是一个交换群 (2) \(R\)关于乘法“·”，满足结合律，即\(\forall a,b,c\in R\)，有 \[(a·b)·c=a·(b·c) \](3
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摘要：元素的阶 定义 设G是一个群，a是G中的一个元素，则子群\(<a>\)的阶称为元素a的阶，记为\(|a|\)或\(ord(a)\) 设G是一个群，a是G中的一个元素，e为单位元，使 \[[ a^k = e ] \]成立的最小正整数\(k\)称为元素\(a\)的阶. 若\(a\)的阶为\(n\)，记为
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摘要：置换群 变换群与置换群 设\(X\)为非空集合，集合\(X\)到\(X\)的一对一变换称为双射变换，X上全体双射变换集合记成T(X)。如果X为有限集合，则称T(X)中的元素为X上的置换。 在T(X)中引入一个二元运算$\circ $, \(\forall α,β∈T(X)\)，定义\(α\circ
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