代数正规型

一、代数正规型表示的定义

代数正规型（Algebraic Normal Form, ANF）是布尔函数在二元域（GF(2)）上的多项式表示形式
对于一个n元布尔函数 \(g(x_1, x_2, \dots, x_n)\)，其ANF可表示为：
\( g(x) = \bigoplus_{a \in \mathbb{Z}_2^n} c_a \cdot x^a \)
其中：

• \(\oplus\) 是模2加（异或）
• \(x^a = x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n}\)（当 \(a_i = 0\) 时，\(x_i^{a_i} = 1\)；当 \(a_i = 1\) 时，\(x_i^{a_i} = x_i\)）
• \(c_a \in \{0, 1\}\) 是系数
• \(\text{wt}(a) = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 是向量 \(a\) 的重量（即非零分量的个数）
• 函数的次数是所有非零系数 \(c_a\) 中 \(\text{wt}(a)\) 的最大值

---

二、代数正规型系数的求解方法

系数 \(c_a\) 的计算公式为：
\( c_a = \bigoplus_{x \in \mathbb{Z}_2^n, \, x \leq a} g(x) \)
其中：

• \(x \leq a\) 表示逐位与运算（即 \(x_i \leq a_i\) 对所有 \(i\) 成立，等价于 \(x \, \& \, a = x\)

步骤说明：

1. 遍历所有可能的输入向量 \(x\)：对于每个 \(a \in \mathbb{Z}_2^n\)，需要遍历所有满足 \(x \leq a\) 的 \(x\)
2. 计算 \(g(x)\) 的模2和：将所有满足条件的 \(g(x)\) 进行异或运算，得到 \(c_a\)

定理的证明思路：

• 通过交换求和顺序和布尔函数的性质，可以证明 \(c_a\) 的计算公式
• 特别地，当 \(a = (1, 1, \dots, 1)\) 时，\(c_a\) 是 \(g(x)\) 在所有输入上的模2和

---

三、例

例1

布尔函数：
\( g(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 \oplus x_2 x_3 \oplus x_1 x_2 x_3 \oplus x_1 x_2 x_3 x_4 \)
函数已经是ANF形式，系数为：

• \(c_{1000} = 1\)（对应 \(x_1\)），
• \(c_{0110} = 1\)（对应 \(x_2 x_3\)），
• \(c_{1110} = 1\)（对应 \(x_1 x_2 x_3\)），
• \(c_{1111} = 1\)（对应 \(x_1 x_2 x_3 x_4\)）
  次数：最高次项是 \(x_1 x_2 x_3 x_4\)，次数为4

例2：

设布尔函数 \(g(x_1, x_2)\) 的真值表如下：

\(x_1\)	\(x_2\)	\(g(x_1, x_2)\)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

计算系数：

• \(c_{00} = g(0,0) = 0\)，
• \(c_{01} = g(0,0) \oplus g(0,1) = 0 \oplus 1 = 1\)（对应 \(x_2\)），
• \(c_{10} = g(0,0) \oplus g(1,0) = 0 \oplus 1 = 1\)（对应 \(x_1\)），
• \(c_{11} = g(0,0) \oplus g(0,1) \oplus g(1,0) \oplus g(1,1) = 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 0\)
  ANF表示：
  \( g(x_1, x_2) = x_1 \oplus x_2 \)
  次数：最高次项是1次。