抽象代数-11-域和域的扩张

域

基本定义

定义：若\(R\)是一个环，并且\(R^*=R\setminus\{0\}\)对于乘法构成一个交换群，则称\(R\)为一个域
定义：交换除环叫作域
定理：域一定是整环
定理：有限整环一定是域
定义：只包含有限个元素的域称为有限域，其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(Galois field)
密码学中最常用的就是二元域\(F_2=\{0,1\}\)

分式域

包含一个整环的最小域为分式域
一个域\(F\)称为一个整环\(D\)的分式域，如果\(F\)包含\(D\)，且\(F=\{ab^{-1}|a,b∈D\}\)
即\(D\)中任意一个非零元在\(F\)中有逆元
记作\(F(D)\)
\(ab^{-1}+cd^{-1}=(ad+cb)(bd)^{-1}\)
\((ab^{-1})(cd^{-1})=(ac)(bd)^{-1}\)
域F中的每一个元素\(ab^{-1}\)代表的是一个集合
即\(ab^{-1}=\{(c,d)|(a,b)\sim(c,d),a,b,c,d∈D\}\)
这里\(\sim\)为等价关系，即：\((a,b)\sim(c,d)⇔ ad=bc\)

域的特征与素域

素域

设\((K,+,\cdot )\)是域，\(F\)是\(K\)的非空子集，且\((F，+，·)\)也是域，则称\(F\)是\(K\)的子域\((subfield)\)，\(K\)是\(F\)的扩域\((extension field)\)，记作\(F≤K\)
设\(S\)是域\(F\)中的一个非空子集，则包含\(S\)的最小子域，称为由\(S\)生成的子域，记作\((S)\)。由元素\(1\)生成的子域称为素域(prime field)
一个域被称为素域，如果它不含有真子域
例如：有理数域\(Q\),素数\(p\) 域\(Z_p\)

域的特征

记加法阶\(0^{+}(1)\)
定理 设F是域，则元素1在(F，+)中的阶数或为某个素数p，或为无穷大
定义 设F是域，若元素1在(F，+)中的阶数为素数p，则称p为域F的特征，若元素1在(F，+)中的阶数为无穷大，则称F的特征为0，F的特征记作chF，故有
\(chF=\begin{cases}p，0^{+}(1)=p,\\0，0^{+}(1)=\infty.\end{cases}\)

定理 设F是域，\(F_0\)是F的素域，则
\(F_0\cong\begin{cases}(\mathbb{Q}，+,\cdot)，chF=0，\\\\\ (Z_p，+,\cdot)，chF=p.\end{cases}\)

域的特征的结论

(1)域可分为两类：
①若\(chF=0\)，则F是\(\mathbb{Q}\)上的扩域，是无限域.例如数域\((R，+，·)\)，\(C，+，·\)等都以\(\mathbb{Q}\)作为素域；
②若\(chF=p\)(素数)，则\(F\)是\(\mathbb{Z}_p\)上的扩域，这时，\(F\)可以是有限域，也可以是无限域.如果\(F\)是有限域，则\(chF\)必是某个素数
(2)若F是特征为p的域，则
(i)对任何\(a\in F\)有\(pa=0\);
(ii)对任何\(a\in F^*\)，且\(na=ma\)，则\(n\equiv m(mod p)\)
(iii)对任何\(a,b\in F\)有\((a+b)^{p^e}=a^{p^e}+b^{p^e}\)，e为任意正整数
(3)\(\forall n\in Z\)，且\(p\nmid n\)，\(p\)为素数)有
\(n^{p-1}\equiv 1(mod p)\)
(4)域F的乘群(F\(^*\)，·)的任何有限子群都是循环群

域的扩张

设\(K\)是\(F\)的扩域，\(\forall u_1,u_2\in K,\forall a,b\in F\),有\(au_1+bu_2\in K\)，把\(K\)中的元素看作向量，从而\(K\)是\(F\)上的一个线性空间
将此线性空间的维数称为\(k\)对\(F\)的扩张次数，记作\((K:F)\)，当其有限时称为有限扩张，否则为无限扩张

望远镜公式

\(F,K,E\)为域，且\(F\subseteq K\subseteq E\)都是有限扩张，则

\[(E:F)=(E:K)(K:F) \]

利用向量空间中的基来证明

代数元、超越元

设\(K\)是\(F\)的扩域，\(u\in K\),若\(u\)是\(F\)上一个多项式\(f(x)\)的根，则称\(u\)是\(F\)上的代数元，否则称为超越元
例如·：\(e\),\(\pi\)是\(Q\)上的超越数，\(1+i\)是代数数
\(u\)在\(F\)上的最小多项式(u是跟的次数最低的首1多项式)为\(m(x)\),\(deg m(x)=r\)则称\(u\)是\(F\)上的\(r\)次代数元,有理数域\(Q\)上的代数元称为代数数，超越元称为超越数

添加元素的扩张

设\(E\)是\(F\)的扩域，\(S\subseteq E\)是一个非空子集，我们把包含\(F\)与\(S\)的最小子域称为\(F\)添加\(S\)所构成的扩域，记作\(F(S)\)。添加一个元素\(u\in E\)所得之扩域记作\(F(u)\)，称为\(F\)上的单扩张(simple extension)
定理：设\(E\)是\(F\)的扩域，\(u\in E\)，则

\[F(u)=\begin{cases} \begin{matrix}\{a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n\mid a_i\in F\}\cong F[x]/(m(x)), \\当u是F上的代数元,且 m(x)是u在F上的最小多项式,\deg m(x)=n,\\\{ {f(u) \over g(u)} |f(x),g(x)\in F[x],g\neq 0\}\cong F(x)的分式域\\当u是F上的超越元. \end{matrix}\end{cases}\]

且有

\[(F(u):F)=\begin{cases}\begin{matrix}\deg m(x),\text{当}u\text{是}F\text{上的代数元},m(x)\\ \text{是}u\text{在}F\text{上的最小多项式,}\end{matrix}\\\infty,\text{当}u\text{是}F\text{上的超越元.}\end{cases} \]

实质上分两种情况：(1)当\(u\)是\(F\)的代数元，(2)当\(u\)是\(F\)上的超越元

代数扩张与有限扩张

设\(K\)是\(F\)的扩域,若\(K\)中每一个元素都是\(F\)上的代数元，则称\(K\)是\(F\)上的代数扩张域，否则为超越扩张域
显然，添加代数元的扩张是代数扩张，超越元的未超越扩张
定理：\(K\)是\(F\)上的有限扩张，则\(K\)是\(F\)上的代数扩张，逆定理不成立