抽象代数-10-环的同构与同态
同构与同态
基本定义
设\(R\)和\(R'\)是两个环，\(f\)是\(R\)到\(R'\)的一个映射，如果\(\forall a,b\in R\),均有:
\(f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)\)
则称\(f\)为从\(R\)到\(R'\)的同态映射
分类
若\(f\)为单射，称\(f\)为单同态，\(R≌f(R)\),称\(f\)将\(A\)同构嵌入到\(R'\)中
若\(f\)为满射，称\(f\)为满同态，记作\(R\sim^f R'\)
若\(f\)为双射，则称\(R\)与\(R'\)同构，记为: \(R≌R'\)
通过同构映射，可以将一个环嵌入到另一个环中
例: 设\(f: Z→Zn\),\(f(m)=[m]\),则\(f\)是一个满同态
零同态
定义映射\(f:x\to 0'\)\(\forall x \in R\) 则为同态，同态像为\(f(R)=\{0'\}\)
称此同态为零同态，为任意两个环之间都存在的一个同态
同态核与像
\(R'\)的零元\(0'\)的全原像\(f^{-1}(0')\)称为\(f\)的同态核
\[kerf = f^{-1}(0') = \{x \in R|f(x) = 0'\}
\]
同态核是\(R\)的一个理想，\(f\)是单同态的充要条件是 \(kerf = \{0\}\)
同态的像：
\(Im(f) = \{f(a) \mid a \in R\}\)
重要定理：\(Im(f)\) 不仅是 \(S\) 的一个子集，它一定是 \(S\) 的一个子环
同构与基本定理
- 环同态基本定理：连接理想、商环和同态
定理：设 \(f: R \to S\) 是一个环同态。那么，商环 \(R/Ker(f)\) 与像 \(Im(f)\) 是同构的。
\[R/Ker(f) \cong Im(f) \]证明思路：构造一个映射 \(\phi: R/Ker(f) \to Im(f)\)，定义为 \(\phi(a + Ker(f)) = f(a)\)。需要验证：
- \(\phi\) 是良定义的。
- \(\phi\) 是一个同态。
- \(\phi\) 是单射（当且仅当 \(Ker(\phi)\) 是零理想，这由定义保证）。
- \(\phi\) 是满射（因为值域就是 \(Im(f)\)）。
任何一个同态的像都可以看作是定义域环模去其核（一个理想）后得到的商环
小结
| 概念 | 在群论中的对应 | 在环论中的体现 |
|---|---|---|
| 子结构 | 正规子群 \(N\) | 理想 \(I\) |
| 商结构 | 商群 \(G/N\) | 商环 \(R/I\) |
| 映射 | 群同态 \(\phi: G \to H\) | 环同态 \(f: R \to S\) |
| 映射的核 | \(Ker(\phi)\) 是 \(G\) 的正规子群 | \(Ker(f)\) 是 \(R\) 的理想 |
| 基本定理 | \(G/Ker(\phi) \cong Im(\phi)\) | \(R/Ker(f) \cong Im(f)\) |
- 理想是同态的核：任何一个环同态的核都是一个理想。反过来，任何一个理想 \(I\) 都可以看作是某个同态的核——即自然投影同态 \(\pi: R \to R/I\)，定义为 \(\pi(a) = a + I\)。这个同态的核就是 \(I\)。
- 商环是同态的像：任何一个环同态的像都与某个商环同构（基本定理）。
- 一一对应：对于给定的环 \(R\) 和 \(S\)，从 \(R\) 到 \(S\) 的所有同态，与 \(R\) 的所有理想（这些理想在某个同态下是核）之间存在深刻的联系。更精确地说，环 \(R\) 的理想与环 \(R\) 的商环（在同构意义下）是一一对应的
浙公网安备 33010602011771号