初等数论-01-整数的因子分解

带余除法

设$a,b$为整数，$b>0$,则存在唯一整数$q$和$r$使得
$ a=qb + r,0\leq r <b $
带余除法又称欧几里得除法

整除

定义

如果余数$r=0$, 那么, 我们就称$b$整除了$a$, 记作$b|a$; 这时我们也称$b$是$a$的因子,$a$是$b$的倍数。(如果余数$r≠0$, 我们就称$b$不能整除$a$, 记作: $b∤a$)
(1)如果$b|a$, 且$b≠1$和$b≠a$, 则称$b$是$a$的真因子
(2)当$b$是$a$的因子时, 则存在$q$使得$a=q*b=(-q)(-b)$, 这时$-b$也是$a$的因子
(3)为了简便, 整数的因子, 总假定为正整数

性质

设$a>0, b>0, c >0$则
(1) 若$c|b$, $b|a$, 则$c|a$
(2) 若$b|a$, 则$bc|ac$
(3) 若$c|a$, $c|b$, 则对任意整数$m$, $n$有$c|(ma+nb)$

整数的表示

$a$进制表示
设$a$为大于$1$的整数，任意正整数$n$可以表示为：
$n=r_0+r_1a+r_2a^2+\ldots +r_ta^t,$
其中，$ t\ge 0,\quad 0\le r_i<a,i=0,1,\ldots$
称为$n$的$a$进制表示
如何求正整数$n$的$a$进制表示
第一步求$\{q_i\}$：利用带余除法
用$a$去除$n$，$ n=q_0a+r_0,\quad 0\le r_0<a$
用$a$去除$q_0$，$ q_0=q_1a+r_1,\quad 0\le r_1<a$
$\cdots$
用$a$去除$ q_i$，$q_i=q_{i+1}a+r_{i+1},\quad 0\le r_{i+1}<a$
直到$ q_t<a$
$n=q_0a+r_0$
$=(q_1a+r_1)a+r_0$
...
$=(q_{t-1}a+r_{t-1})a^{t-1}+r_{t-2}a^{t-2}\ldots +r_1a+r_0$
$=q_{t-1}a^t+r_{t-1}a^{t-1}+\ldots +r_1a+r_0$

最大公因子与辗转相除法

\[a=bq+c, \]

其中$q$为整数，则$(a，b)=(b，c)$
定理B：设$a_{1} ，…，a_{n}$是$n$个整数，令：
$(a_{1}，a_{2})=d_{1}，(d_{1}，a_{3})=d_{2}，…(d_{n-2}，a_{n})=d_{n-1}$
则$(a_{1} ，…，a_{n})=d_{n-1}$

欧几里得辗转相除法

利用带余除法依次有：
$ a=q_0b+r_0,\quad 0\leq r_0<b$
$ b=q_1r_0+r_1,\quad 0\leq r_1<r_0$
$ r_0=q_2r_1+r_2,\quad 0\leq r_2<r_1$
如此下去
$ r_{i-2}=q_ir_{i-1}+r_i,\quad 0\leq r_i<r_{i-1},\ i=3,4,...$
这样我们便得到一个递减的序列${r_i}$
即：$r_0>r_1>r_2... \geqslant 0$
也就是说到某一步（比如第n步）有$r_n=0$
这时我们就有$r_{n-2}=q_nr_{n-1}$，即$r_{n-1}\vert r_{n-2}$
利用定理A：
$(a,b)=(b,r_0)=(r_0,r_1)$
$=\ldots=(r_{i-1},r_i)=\ldots=(r_{n-3},r_{n-2})$
$=(r_{n-2},r_{n-1})=r_{n-1}$

def egcd(a, b):
    """
    扩展欧几里得算法
    返回 (gcd, x, y) 使得 a*x + b*y = gcd(a, b)
    """
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        g, y, x = egcd(b % a, a)
        return (g, x - (b // a) * y, y)

辗转相除法的拓展

辗转相除法的进一步扩展
分析上述辗转除法可以发现：
$r_0=a-q_0b=x_0a+y_0b(x_0=1,y_0=-q_0)$
$r_1=b-q_1r_0=q_1a+(1+q_0q_1)b=x_1a+y_1b(x_1=q_1,y_1=1+q_0q_1)$
利用归纳逆推法，不难发现对任意$r_i(0\leq i\leq n-1)$，都存在$x_i,y_i$满足：$r_i=x_ia+y_ib$
而且$ r_i=r_{i-2}-q_ir_{i-1}=x_{i-2}a+y_{i-2}b-q_i(x_{i-1}a+y_{i-1}b)=(x_{i-2}-q_ix_{i-1})a+(y_{i-2}-q_iy_{i-1})b$
$ x_i=x_{i-2}-q_ix_{i-1},y_i=y_{i-2}-q_iy_{i-1}$
$X_{-2}=1,X_{-1}=0,Y_{-2}=0,Y_{-1}=1$
$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_{n-1},y_{n-1})$
$(a,b)=r_{n-1}=x_{n-1}a+y_{n-1}b$

定理：对任意两个（正）整数$a$，$b$，都存在整数$x$，$y$，使得：
$(a,b)=xa+yb$
推论：(1) 设$d$是$a$和$b$的任一公因子，则$d|(a,b)$
(2) 设$a_1$，$\ldots$，$a_n$是$n$个整数，则存在整数$u_1，\ldots，u_n$满足：
$(a_1,\ldots,a_n)=u_1a_1+\ldots+u_na_n$

def mod_inverse(a: int, m: int) -> int:
    """
    拓展欧几里得算法求模逆元
    """
    if a < 0:
        a = a % m
        
    original_m = m
    x0, x1 = 0, 1
    while a > 1:
        quotient = a // m
        a, m = m, a % m
        x0, x1 = x1 - quotient * x0, x0
        
    if x1 < 0:
        x1 += original_m
    return x1

整数的唯一分解定理

素数：一个大于$1$的正整数$p$，如果仅以$1$和它自身作为其因子，则称$p$为素数
复合数：大于$1$的非素的自然数，称之为复合数
互素：给定两个整数$a，b$，如果$(a，b)=1$，则称$a，b$互素
关于素数的结果
定理A：设$p$为素数，$a，b$为整数，若$p|ab$，则$p|a$或$p|b$
定理B:(唯一分解定理)
任一不为$1$的正整数$n$均可唯一的表示为:$n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \cdots p_t^{a_t}$
这里$ p_1<p_2<p_3<\cdots <p_t$,$a_1,\cdots,a_t$为自然数,上式称为$n$的标准分解式正整数$n$分解的存在性,正整数$n$分解的唯一性

posted @ 2024-12-10 19:48 lumiere_cloud 阅读(131) 评论(0) 收藏举报

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