初等数论-05二次剩余

设\(m＞1，(n, m)=1\), 如果方程

\[x^2≡n (mod m) \]

有解，则称\(n\)为模\(m\)的二次剩余，否则称\(n\)为模$$m的二次非剩余。

Legendre符号

设为\(p\)素数，\(n\)为整数，关于变量\(n\)的函数
\(({n\over p})\)=
1,若n为模p的二次剩余
-1,若n为模p的二次非剩余
0， p|n
称为Legendre符号

Legendre符号性质：

(1)\(n_1 \equiv n_2(mod p)\)则\(({n_1\over p})=({n_2\over p})\)
(2)若 \(p\nmid n\)则\(({n^2\over p})=1\)
(3)\(({1\over p})=1\)

定理

定理1：素数\(p\)，模\(p\)的缩系中，有\({(p-1)\over 2}\)个二次剩余，且\(1^2,\cdots , ({(p-1)\over 2})^2\)为所有的模\(p\)二次剩余
定理2：(欧拉判别准则) 设\(p\)为奇素数，若\(p ∤ n\)，则：\(({n\over p})= n^{({p-1\over 2})}(mod p)\)
定理3：素数\(p\),整数\(m,n\)
\(({mn\over p})\)=$ ({ m \over p})({ n \over p})$

定理四：素数\(p \neq q\)
\(\begin{pmatrix} -1\over p \end{pmatrix}=(-1)^{{p-1}\over 2}\)
\(\begin{pmatrix} 2\over p \end{pmatrix}=(-1)^{{(p^2-1)}\over 8}\)
\(\begin{pmatrix} q\over p \end{pmatrix}=(-1)^{{\frac{p-1}{2}}\times {\frac{q-1}{2}}}({p\over q})\)(二次互反律)

Jacobi符号

设m为正奇数，且\(m=\prod^s_{i=1}p_i，p_i\)为素数, n为整数，定义变量n的函数如下：
\(({n\over m})=\prod^s ({n\over p_i})\)

Jacobi符号性质

（1）若\(n_1 \equiv n_2 (\mod m)\)，则\(\begin{pmatrix}n_1\\m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n_2\\m\end{pmatrix}\)
（2）若\((n,m)=1\)，则\(\begin{pmatrix}n^2\\m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\\m^2\end{pmatrix}\)，若\((n,m) \ne 1\)，则\(\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=0\)
（3）\(\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix} =1\)
（4）\(\begin{pmatrix}n_1n_2\\m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n_1\\m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n_2\\m\end{pmatrix}\)

关于Jacobi符号的结果

\(\text{定理: 设n>1为奇数, m>1为奇数,且(m,n)=1, 则:}\)
\(\left(\frac{-1}{m}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}}\)
\(\left(\frac{2}{m}\right)=(-1)^{\frac{1}{8}(m^{2}-1)}\)
\(\left(\frac{n}{m}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}\times\frac{m-1}{2}}\left(\frac{m}{n}\right)\)

设n=pq，p和q为n的素因子，则：
a为n的二次剩余 \(\Leftrightarrow\) \(({a\over p})=({a\over q})=1\)