抽象代数-09-子环、理想和商环

子环

定义

设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(S\)是\(R\)的非空子集，如果\(S\)关于\(R\)的运算也构成一个环，则称\(S\)为环\(R\)的子环
例：\((m\mathbb{Z},+,\cdot)\)是整数环\(\mathbb{Z}\)的子环，整数环\(\mathbb{Z}\)是有理数环\(Q\)的子环等

判定

定理：设S是环R的非空子集, 则S为环R的子环的充分必要条件是: 对任意\(a, b \in S\), \(a - b \in S\), \(ab \in S\)

性质

若R是无零因子环, 则S也是无零因子环
当S是无零因子环时, R未必是无零因子环
若\(R\)有单位元,\(S\)可以没有单位元
若\(S\)有单位元,\(R\)可以没有单位元
若\(R\)与\(S\)都有单位元,它们的单位元可以不相同
例：整数环Z有单位元,其子环(偶数环)无单位元
例：\(A=\{\begin{pmatrix} x&y\\0&0\end{pmatrix}|x,y∈R\}\),无单位元
\(B=\{\begin{pmatrix} x&0\\0&0\end{pmatrix}|x∈R\}\),有单位元
\(A=\{\begin{pmatrix} x&y\\a&b\end{pmatrix}|x,y,a,b∈R\}\),有单位元
\(B=\{\begin{pmatrix} x&x\\0&0\end{pmatrix}|x∈R\}\),有单位元

理想

理想在环论中的地位，类似于正规子群在群论的地位。它是为了构造商环而引入的概念

定义

设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(I\)是\(R\)的一个子环，如果对任意的\(a \in I\)，\(r \in R\)，都有：\(ra \in I\)，我们就称\(I\)是\(R\)的一个左理想。如果有：\(ar \in I\)，我们就称\(I\)是\(R\)的一个右理想。同时满足称\(I\)是\(R\)的一个理想（ideal）
（1）对任意一个环R，它至少存在两个理想，即：\(R\)自身和\({0}\)，称为平凡理想
（2）\(R\)交换环，则左理想也是右理想
（3）环内无非平凡理想，称这个环为单环
（4）加法子群：\(I\) 对于环 \(R\) 的加法构成一个子群.即，对于任意 \(a, b \in I\)，有 \(a - b \in I\)（等价于：对于任意 \(a, b \in I\)，有 \(a + b \in I\)，且 \(0 \in I\)，且对于任意 \(a \in I\)，有 \(-a \in I\)）
（5）吸收性：对于任意 \(r \in R\) 和任意 \(a \in I\)，都有 \(ra \in I\) 且 \(ar \in I\)用环中任意元素去乘理想中的元素，结果仍然落回理想中

生成子环与生成理想

设\(R\)是环，\(S\)是\(R\)的一个非空子集，则\(R\)的包含\(S\)的最小子环称为由\(S\)生成的子环或称为\(S\)的生成子环，记作\([S]\)，它是\(R\)的包含\(S\)的所有子环的交
包含\(S\)的最小理想称为由\(S\)生成的理想或称为\(S\)的生成理想，记作\((S)\)，它是包含\(S\)的所有理想的交
当\(S={a}\)时，由\(a\)生成的子环可表示为
\([a]=\{ \sum n_{k}a^{k} | n_{k} \in Z,k \in Z^{+} \}\)
由元素\(a\)生成的理想可表示为
\((a)=\{ \sum xay+sa+at+na\)
\(| x,y,s,t \in R,n \in Z \}\)
当\(R\)有单位元时
\((a)=\{ \sum xay | x,y \in R\}\)
当\(R\)为交换环时
\((a)=\{ ra + na | r \in R,n\in Z\}\)
当\(R\)是有单位元的可换环时，\((a)\)可简化为
\((a)=\{ xa | x \in R \} = aR\)
显然，由单位元生成的理想就是\(R\)：
\((1)=R\)
在\((Z,+,\cdot )\)中整数\(m\)的生成理想为
\((m)=\{ km | k \in Z \} =mZ\)
且由循环群\((Z,+)\)的性质知\((Z,+,\cdot )\)中全部理想为\((m),m=0,1,2,\cdots\)
在\((F[x],+,\cdot )\)中元素\(x\)的生成理想为
\((x)=\{ xf(x) | f(x) \in F[x]\}\)\(=\{ a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n} | a_{i} \in F,n \in Z^{+} \}\)
对环R任意一个理想I，如果它是包含元素\(a \in R\)的最小理想，那么理想I就称为环R的主理想，记为\((a)\)
\((a)=\{\sum x_iay_i+sa+at+na\)
\(\mid x_i,y_i,s,t\in R,n\in Z\}\)

例子

1. 主理想：在交换环 \(R\) 中，由单个元素 \(a \in R\) 生成的理想。
   • 记作 \((a) = \{ra \mid r \in R\}\)。
   • 例如，在整数环 \(\mathbb{Z}\) 中，所有偶数构成的集合 \(2\mathbb{Z} = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\) 是一个理想，它就是主理想 \((2)\)。事实上，\(\mathbb{Z}\) 中的所有理想都是主理想。
2. 多项式环中的理想：在多项式环 \(F[x]\)（\(F\) 是域）中，由 \(x\) 生成的理想 \((x) = \{x \cdot p(x) \mid p(x) \in F[x]\}\)，即所有常数项为 0 的多项式构成的集合。
3. 矩阵环中的理想：在 \(n \times n\) 实矩阵环 \(M_n(\mathbb{R})\) 中，只有两个理想：零理想 \(\{0\}\) 和单位理想 \(M_n(\mathbb{R})\) 本身。这样的环被称为单环。
4. 非理想的例子：在整数环 \(\mathbb{Z}\) 中，集合 \(\{1, 2, 3\}\) 不是理想，因为它不满足加法封闭性（如 \(2+3=5\) 不在集合中）。集合 \(\mathbb{Z}^+\)（正整数）也不是理想，因为它不包含 \(0\) 和负元。

商环

设\(R\)是环，\(I\)是\(R\)的一个理想，则\(I\)是加群\((R,+)\)的正规子群

• 构造：我们可以定义 \(R\) 上的一个等价关系：
  \(a \sim b \iff a - b \in I\)。
• 陪集：元素 \(a \in R\) 所在的等价类（陪集）记作 \(a + I = \{a + i \mid i \in I\}\)。
• 商：所有陪集构成的集合记作 \(R/I\)。我们在 \(R/I\) 上定义加法和乘法：
  • \((a + I) + (b + I) = (a + b) + I\)
  • \((a + I) \cdot (b + I) = (a \cdot b) + I\)
• 理想的吸收性起到了至关重要的作用，保证了乘法运算是良定义的
• \((R/I, +, \cdot)\) 构成一个环，称为 \(R\) 模 \(I\) 的商环

素理想、极大理想

设P是环R的一个理想，若任意\(a,b\in R\)，且\(ab\in P\)，都有\(a\in P\)或\(b\in P\)，则称P是环R的一个素理想
设M是环R的一个理想，若R中的任一理想I，满足：

\[I\supseteq M,I\neq M, \]

均有\(I=R\)，则称M是环R的一个极大理想
定理：设R是一个有单位元的交换环，I是R的理想，则：
（1）若I是R的素理想，则R/I是一个整环；
（2）若I是R的极大理想，则R/I是一个域。