Goppa码

Goppa 码的基本定义

1. 基本元素

• 有限域：设 \(GF(2^m)\) 是 \(GF(2)\) 的 \(m\) 次扩域
• Goppa 多项式：设 \(g(x)\) 是 \(GF(2^m)\) 上的一个 \(t\) 次多项式，且 \(g(x)\) 在 \(GF(2^m)\) 上无重根
• 位置集：\(L = \{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} \subseteq GF(2^m)\)，其中 \(g(\alpha_i) \neq 0\) 对所有 \(i=1,...,n\) 成立

2. Goppa 码定义

对于 \(GF(2)\) 上的任意向量 \(C = (c_1, c_2, ..., c_n)\)，定义其伴随多项式为：
\(S_C(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{c_i}{x - \alpha_i} \quad \text{mod } g(x)\)
其中，\(c_i \in \{0,1\}\)，除法运算在 \(GF(2^m)\) 的多项式环中进行。

Goppa 码 \(G(L, g)\) 定义为：
\(G(L, g) = \{ C \in \{0,1\}^n \mid S_C(x) \equiv 0 \text{ mod } g(x) \}\)
即，所有伴随多项式被 \(g(x)\) 整除的二进制向量构成的集合。

3. 参数

• 码长：\(n\)（位置集 \(L\) 的大小）
• 信息位：\(k\)，满足 \(k \geq n - mt\)
• 纠错能力：\(t\)（与 Goppa 多项式的次数相同）
• 最小距离：\(d_{min} \geq 2t + 1\)（对于不可约 Goppa 码）

Goppa 码的校验矩阵

1. 校验矩阵构造

对于 Goppa 码 \(G(L, g)\)，其校验矩阵 \(H\) 可以构造为：

\[H = \begin{pmatrix} \frac{1}{g(\alpha_1)} & \frac{1}{g(\alpha_2)} & \cdots & \frac{1}{g(\alpha_n)} \\ \frac{\alpha_1}{g(\alpha_1)} & \frac{\alpha_2}{g(\alpha_2)} & \cdots & \frac{\alpha_n}{g(\alpha_n)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\alpha_1^{t-1}}{g(\alpha_1)} & \frac{\alpha_2^{t-1}}{g(\alpha_2)} & \cdots & \frac{\alpha_n^{t-1}}{g(\alpha_n)} \end{pmatrix} \]

其中每个元素都在 \(GF(2^m)\) 中。

2. 二进制表示

由于 \(GF(2^m)\) 可以看作 \(GF(2)\) 上的 \(m\) 维向量空间，将 \(H\) 的每个元素用 \(m\) 位二进制表示，则得到二进制校验矩阵：

\[H_{bin} = \begin{pmatrix} H_1 \\ H_2 \\ \vdots \\ H_t \end{pmatrix} \]

其中 \(H_i\) 是 \(m \times n\) 的二进制矩阵。

最终，\(H_{bin}\) 是 \(mt \times n\) 的二进制矩阵。

Goppa 码的生成矩阵

1. 生成矩阵与校验矩阵的关系

对于线性分组码，生成矩阵 \(G\) 和校验矩阵 \(H\) 满足：

\[G \cdot H^T = 0 \]

因此，可以通过求解齐次线性方程组 \(G \cdot H^T = 0\) 得到生成矩阵 \(G\)

2. Goppa 码的参数关系

• 矩阵 \(H_{bin}\) 的大小：\(mt \times n\)
• 矩阵 \(G\) 的大小：\(k \times n\)，其中 \(k = n - \text{rank}(H_{bin})\)
• 对于不可约 Goppa 码：\(k = n - mt\)

Goppa 码的纠错算法

Goppa 码的纠错基于伴随式解码原理。设接收到的向量为 \(r = c + e\)，其中 \(c\) 是码字，\(e\) 是错误向量。

1. 伴随式计算

计算伴随多项式：

\[S_r(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{r_i}{x - \alpha_i} \quad \text{mod } g(x) \]

由于 \(S_c(x) \equiv 0\)，所以：

\[S_r(x) \equiv \sum_{i=1}^{n} \frac{e_i}{x - \alpha_i} \quad \text{mod } g(x) \]

2. 错误计算

设错误位置集合为 \(J = \{j \mid e_j = 1\}\)，定义：

• 错误位置多项式：
  \[\sigma(x) = \prod_{j \in J} (x - \alpha_j) \]

• 错误值多项式：对于二进制码，错误值均为 1

关键方程为：

\[\sigma(x) \cdot S_r(x) \equiv \omega(x) \quad \text{mod } g(x) \]

其中 \(\deg(\omega(x)) < \deg(\sigma(x))\)。

3. 求解步骤

1. 计算 \(S_r(x)\)
2. 用扩展欧几里得算法求解关键方程，得到 \(\sigma(x)\)
3. 求 \(\sigma(x)\) 的根，确定错误位置
4. 纠正错误

不可约 Goppa 码的特殊性质

1. 定义

如果 Goppa 多项式 \(g(x)\) 在 \(GF(2^m)\) 上不可约，则称为不可约 Goppa 码。

2. 优势

• 最小距离：\(d_{min} \geq 2t + 1\)
• 码率：\(k/n = 1 - mt/n\)
• 结构清晰，便于分析

Goppa 码例题

问题

考虑以下参数的小型Goppa码：

• 有限域：GF(2³)，使用本原多项式 \(p(x) = x^3 + x + 1\)
• Goppa多项式：\(g(x) = x^2 + x + 1\)（在GF(2³)上不可约）
• 位置集：\(L = \{\alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, \alpha^6\}\)
  其中α是GF(2³)的本原元，满足 \(α^3 = α + 1\)

GF(2³)的元素表

使用本原多项式 \(x^3 + x + 1\)

幂表示	多项式表示	二进制	十进制
0	0	000	0
α⁰	1	001	1
α¹	α	010	2
α²	α²	100	4
α³	α+1	011	3
α⁴	α²+α	110	6
α⁵	α²+α+1	111	7
α⁶	α²+1	101	5

二进制表示是按照\((c_0, c_1, c_2)\)对应\(c_0 + c_1α + c_2α²\)

验证Goppa多项式条件

验证 \(g(\alpha^i) ≠ 0\) 对所有 \(i = 0,...,6\)：

计算 \(g(x) = x^2 + x + 1\) 在GF(2³)上的值：

1. \(g(α⁰) = g(1) = 1² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 1\)

2. \(g(α¹) = g(α) = α² + α + 1\)
   由表知：α² + α + 1 = α⁵ ≠ 0

3. \(g(α²) = g(α²) = (α²)² + α² + 1 = α⁴ + α² + 1\)
   \(α⁴ = α²+α\)，所以 \(α⁴ + α² + 1 = (α²+α) + α² + 1 = α + 1 = α³ ≠ 0\)

4. \(g(α³) = g(α+1) = (α+1)² + (α+1) + 1\)
   \((α+1)² = α² + 1\)（因为2α=0），所以：
   \(α² + 1 + α + 1 + 1 = α² + α + 1 = α⁵ ≠ 0\)

5. \(g(α⁴) = g(α²+α) = (α²+α)² + (α²+α) + 1\)
   \((α²+α)² = α⁴ + α² = (α²+α) + α² = α ≠ 0\)
   所以：\(α + (α²+α) + 1 = α² + 1 = α⁶ ≠ 0\)

6. \(g(α⁵) = g(α²+α+1) = (α²+α+1)² + (α²+α+1) + 1\)
   \((α²+α+1)² = α⁴ + α² + 1 = (α²+α) + α² + 1 = α+1 = α³ ≠ 0\)
   所以：\(α³ + α⁵ + 1 = (α+1) + (α²+α+1) + 1 = α² + 1 = α⁶ ≠ 0\)

7. \(g(α⁶) = g(α²+1) = (α²+1)² + (α²+1) + 1\)
   \((α²+1)² = α⁴ + 1 = (α²+α) + 1 = α²+α+1 = α⁵ ≠ 0\)
   所以：\(α⁵ + (α²+1) + 1 = α⁵ + α² = (α²+α+1) + α² = α+1 = α³ ≠ 0\)

所有值都不为零，满足条件。

计算校验矩阵H

1. 先计算 \(1/g(α^i)\)：

由于在GF(2³)中，非零元素的逆元可查表计算：

\[\frac{1}{g(\alpha^i)} = [1, α², α⁴, α², α¹, α¹, α⁴] \]

2. 构造校验矩阵H（GF(2³)形式）：

\[H = \begin{pmatrix} \frac{1}{g(α⁰)} & \frac{1}{g(α¹)} & \frac{1}{g(α²)} & \frac{1}{g(α³)} & \frac{1}{g(α⁴)} & \frac{1}{g(α⁵)} & \frac{1}{g(α⁶)} \\ \frac{α⁰}{g(α⁰)} & \frac{α¹}{g(α¹)} & \frac{α²}{g(α²)} & \frac{α³}{g(α³)} & \frac{α⁴}{g(α⁴)} & \frac{α⁵}{g(α⁵)} & \frac{α⁶}{g(α⁶)} \end{pmatrix} \]

代入计算：

\[H = \begin{pmatrix} 1 & α² & α⁴ & α² & α¹ & α¹ & α⁴ \\ 1 & α³ & α⁶ & α⁵ & α⁵ & α⁶ & α³ \end{pmatrix}_{2×7} \]

3. 转换为二进制校验矩阵 \(H_{bin}\)：

将每个GF(2³)元素表示为3位二进制（按多项式系数）：
展开为二进制矩阵：

\[H_{bin} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}_{6×7} \]

（注：前三行是第一行的三个比特，后三行是第二行的三个比特）

求生成矩阵G

1. 解方程 \(G \cdot H_{bin}^T = 0\)

先计算 \(H_{bin}\) 的秩：
经过行简化，可以验证 \(\text{rank}(H_{bin}) = 6\)

因此，\(k = n - \text{rank}(H_{bin}) = 7 - 6 = 1\)

这是一个(7,1)码，只有一个信息位。

2. 求解生成矩阵G

设 \(G = [g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_6, g_7]\)，满足 \(G \cdot H_{bin}^T = 0\)

这等价于解方程组：

\[\sum_{i=1}^7 g_i \cdot h_{j,i} = 0 \quad \text{对于 } j=1,...,6 \]

通过求解（或观察对称性），可以得到：

\[G = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] \]

即全1向量。验证：
所有位置都相同，所以与任何行的点积都是该行元素和：

• 第一行和：0+1+1+1+0+0+1=4 mod 2=0
• 第二行和：0+0+1+0+1+1+1=4 mod 2=0
• ... 所有行和均为偶数

因此，这个Goppa码只有一个码字：全0向量和全1向量。

编码

由于k=1，只有两个可能的信息：

• 信息m=0 → 码字c=0000000
• 信息m=1 → 码字c=1111111

编码过程：\(c = m \cdot G\)

纠错

设发送码字 \(c = 1111111\)，假设传输中发生1位错误：

情况1：接收向量 \(r = 1111101\)（第6位出错）

1. 计算伴随多项式：

   \[S_r(x) = \sum_{i=1}^7 \frac{r_i}{x - \alpha^{i-1}} \mod g(x) \]

   由于只有第6位不同（α⁵位置）：

   \[S_r(x) = \frac{1}{x-α⁵} \quad \text{（因为其他项抵消）} \]

2. 求解关键方程：
   设错误位置多项式 \(\sigma(x) = x - \alpha^j\)，关键方程为：

   \[(x - \alpha^j) \cdot \frac{1}{x-α⁵} \equiv \omega(x) \mod (x^2+x+1) \]

   当 \(j=5\)（α⁵）时：

   \[(x-α⁵) \cdot \frac{1}{x-α⁵} = 1 \]

   满足条件。

3. 确定错误位置：
   \(\sigma(x) = x - α⁵\) 的根是 \(α⁵\)，对应第6位。

4. 纠错：
   翻转第6位：1111101 → 1111111