抽象代数-06-置换群

置换群

变换群与置换群

设\(X\)为非空集合，集合\(X\)到\(X\)的一对一变换称为双射变换，X上全体双射变换集合记成T(X)。如果X为有限集合，则称T(X)中的元素为X上的置换。
在T(X)中引入一个二元运算$\circ $, \(\forall α,β∈T(X)\)，定义\(α\circ β\)为变换\(α\)与\(β\)的复合，即对任意\(x\in X\)，有

\[α\circ β(x)=α(β(x)) \]

我们把\(α\circ β\) 简记为 \(αβ\)
\(T(X)\)在 \(\circ\) 下为群，称为变换群。
若\(X\)是有限集，则\(T(X)\)称为置换群。如果\(|X|=n\), 则\(T(X)\)称为\(n\)元对称群，记为\(S_n\)。
设 \(X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\), 不妨用 1,2,\(\cdots,n\)来表示这 n 个元素。
若 \(\sigma \in T(X)=S_n\) 满足:
\(\sigma(1)=i_1,\sigma(2)=i_2,\cdots,\sigma(n)=i_n,\)
则此变换可以记为
\(\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&n\\i_1&i_2&i_3&\cdots&i_n\end{pmatrix}\)

循环置换/轮换

设\(x=\{1,2,...,n\}\)，\(\sigma\)是其上的一个置换，若有一个子集\({i_1,i_2,...,i_r}\)，使得：
\(\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,...,\sigma(i_{r-1})=i_r,\sigma(i_r)=i_1,\)
而\(\sigma\)保持其他数码不变，则称\(\sigma\)是X上的一个循环置换或长度为\(r\)的轮换
并记：\(\sigma=(i_1i_2...i_r)\)
如果\(r=2\)，则称\(\sigma\)是X上的一个对换
\(\sigma=(i_1i_2...i_r),\gamma=(k_1k_2...k_s)\)，如果\(i_1,i_2,...,i_r\)与\(k_1,k_2,...,k_s\)没有公共数码，则称\(\sigma\)和\(\gamma\)不相交

置换的轮换分解

\(\sigma\)可分解为不相交的轮换之积:

\[\sigma = r_1r_2\cdots r_k \]

\[阶o(\sigma) = lcm[l_1,l_2,\cdots,l_k],l_i是r_i的长度 \]

例如：
设\(\tau=\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ 5&8&3&2&4&6&9&1&10&7 \end{array}\right)\)。把\(\tau\)分解成不相交循环的乘积。
\(1→5→4→2→8→1\)，\((15428).\)
\(7→9→10→7\)，\((7910).\)
\(\tau=(15428)(7910)\)

置换的对换分解

任一置换可表示为若干对换的乘积
\((i_1 i_2 i_3 ... i_k - 1 i_k ) = (i_1 i_k)(i_1 i_{k-1})...(i_1 i_3)(i_1 i_2)\)
例如：
设 \(\tau = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 8 & 3 & 2 & 4 & 6 & 9 & 1 & 10 & 7\end{pmatrix}\) 。把 $\tau $ 分解成对换的乘积。
\(\tau = (15428)(7910)\)
\(= (18)(12)(14)(15)(710)(79)\)

cayley定理

任何一个群同构与一个变换群，任何一个有限群同构于一个置换群。