简单博弈
巴什博弈
问题：\(2\) 人玩游戏，共有 \(n\) 个石子，每人每次可以取 \([1,k]\) 个石子，最后一次取石子的人获胜，问先手何时必胜？
结论：巴什博弈先手必败，当且仅当 \((k+1)\mid n\)，否则先手必胜。
证明：分类讨论。
- \(n\le k\)：这时候先手可以一次性取完；
- \(n=k+1\)：这时候先手无论取 \(x\in[1,k]\) 中的多少个石子，后手都可以一次取完剩余的 \(n-x\) 个石子；
- \(n=\lambda(k+1)\)：这时候对于每个 \(k+1\) 的石子，情况与 2 同，结果就是后手胜；
- \(n=\lambda(k+1)+\mu,\mu\in[1,k]\)：这时候，先手可以先把 \(\mu\) 个石子取走，转化为第 3 种情况，此时这里的“先手”变成了情况 3 中的“后手”，故其必胜。
Nim 博弈
定义：给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人均采取最优策略，问先手能否必胜。我们把这种游戏称为 Nim 博弈。
基本概念：
局面：我们把 Nim 博弈游戏过程中面临的状态称为局面。
先手与后手：整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。
必胜局面与必败局面：若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对手面临必败局面，则称这样的局面为必胜局面；若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称这样的局面为必败局面。
Nim 博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
Nim 定理：
内容：记 \(\displaystyle A=\bigoplus^{n}_{i=1}A_i\)，Nim 博弈先手必胜，当且仅当 \(A\neq 0\)。
证明：数学归纳法。
所有物品被取光是一个必败局面，此时显然有 \(A=0\)。
对于任意一个局面，如果 \(A\neq 0\)，设 \(A\) 的二进制表示下最高位的 \(1\) 在第 \(k\) 位，那么至少存在一堆物品 \(A_i\)，它的第 \(k\) 位是 \(1\)。显然 \(A_i\oplus A<A_i\)，我们就从 \(A_i\) 堆中取走若干物品，使其变为 \(A_i\oplus A\)，就得到了一个各堆物品数量异或和为 \(0\) 的局面。
对于任意一个局面，如果 \(A=0\)，那么无论如何取物品，得到的局面下各堆物品数量异或和一定不为 \(0\)。可以用反证法证明，假设 \(A_i\) 被取成了 \(A^{'}_i\)，并且 \(A_1\oplus A_2\oplus ...\oplus A^{'}_i\oplus ...\oplus A_n=0\)，由异或运算性质知 \(A_i=A^{'}_i\)，与 Nim 博弈游戏规则（不能不取）矛盾。
综上所述，由数学归纳法可知，\(A\neq 0\) 为必胜局面，一定存在一种行动使得对手面临“各堆物品数量异或和为 \(0\)”的局面。\(A=0\) 为必败局面，无论如何行动，都会让对手面临一个“各堆物品数量异或和不为 \(0\)”的必胜局面。
板子题。根据 Nim 定理，当石子数量异或和不为 \(0\) 时，存在先手必胜策略，反之不存在。
代码如下（时间复杂度 \(O(Tn)\)）：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
int T, n;
int a[N];
int Nimsum;//Nim和
signed main()
{
cin >> T;
while(T --)
{
Nimsum = 0;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
scanf("%lld", &a[i]);
Nimsum ^= a[i];
}
if(Nimsum != 0)
{
puts("Yes");
}
else
{
puts("No");
}
}
return 0;
}
公平组合游戏（ICG）与有向图游戏
公平组合游戏（ICG）：
若一个游戏满足：
- 由两名玩家交替行动；
- 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
- 不能行动的玩家判负。
则称该游戏为公平组合游戏（ICG）。
Nim 博弈是一种公平组合游戏。
有向图游戏：
定义：给定一个 DAG，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是：把每个局面看成图中的结点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
博弈图：类似有向图游戏地，将博弈中所有可能的局面（状态）按递推关系画成一张 DAG，就是博弈图。
\(\text{mex}\) 运算与 \(\text{SG}\) 函数
\(\text{mex}\) 运算：
定义：设非空整数集 \(S\)，定义 \(\text{mex}(S)\) 为求出不属于 \(S\) 的最小非负整数的运算。
用公式表达为：
\(\text{SG}\) 函数：
定义：在有向图游戏中，对于每个结点 \(x\)，设从 \(x\) 出发共有 \(k\) 条有向边，分别到达结点 \(y_1,y_2,...,y_k\)，定义函数 \(\text{SG}(x)\) 为 \(x\) 的后继结点 \(y_1,y_2,...,y_k\) 的 \(\text{SG}\) 函数值构成的集合再执行 \(\text{mex}\) 运算的结果。
用公式表达为：
特别地，整个有向图游戏 \(G\) 的 \(\text{SG}\) 函数值被定义为有向图游戏起点 \(s\) 的 \(\text{SG}\) 函数值，即：
有向图游戏的和：
设 \(G_1,G_2,...,G_m\) 是 \(m\) 个有向图游戏。定义有向图游戏 \(G\)，它的行动规则是任选某个有向图游戏 \(G_i\)，并在 \(G_i\) 上行动一步。\(G\) 被称为有向图游戏 \(G_1,G_2,...,G_m\) 的和。
有向图游戏的和的 \(\text{SG}\) 函数值等于它包含的各个子游戏 \(\text{SG}\) 函数值的异或和，即：
有向图游戏的胜负判定：
定理：有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应结点的 \(\text{SG}\) 函数值大于 \(0\)；有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应结点的 \(\text{SG}\) 函数值等于 \(0\)。
证明与 Nim 博弈方法类似。
例题
例题 \(1\)：取石子游戏 1。
巴什博弈板子：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k;
int main()
{
cin >> n >> k;
if(n % (k + 1))
{
puts("1");
}
else
{
puts("2");
}
return 0;
}
例题 \(2\)：移棋子游戏。
根据 \(\text{SG}\) 定理，本题所有 \(k\) 个给定节点的 \(\text{SG}\) 函数值的异或和为 \(0\) 时答案为 lose，否则为 win。
注意求 \(\text{SG}\) 函数的实现，我们采用了记忆化搜索的方式避免冗余统计：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e3 + 10;
int n, m, k;
vector<int> e[N];
int mex(set<int> S)
{
int res = 0;
while(S.find(res) != S.end())
{
res ++;
}
return res;
}
int sg[N];
int SG(int u)
{
if(sg[u] != -1)
{
return sg[u];
}
set<int> S;
for(auto i : e[u])
{
S.insert(SG(i));
}
return sg[u] = mex(S);
}
int SGsum = 0;
int main()
{
cin >> n >> m >> k;
for(int i = 1; i <= m; i ++)
{
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
e[u].push_back(v);
}
memset(sg, -1, sizeof sg);
for(int i = 1; i <= k; i ++)
{
int u;
scanf("%d", &u);
SGsum ^= SG(u);
}
if(SGsum == 0)
{
puts("lose");
}
else
{
puts("win");
}
return 0;
}
例题 \(3\)：BeiJing 2009 WC 取石子游戏。
在常规 Nim 博弈的基础上增加了取石子数量的限制集合，我们可以称这种类似 Nim 博弈的游戏为 exNim 博弈。
exNim 问题的一般解法是：通过有向图预处理 \(\text{SG}\) 函数，从而转化为 Nim 游戏求解。
对于本题，我们可以根据石子堆中石子数量 \([1,1000]\) 建 \(1000\) 个状态，并计算当前状态的 \(\text{SG}\) 函数值，将题目中的若干 \(A\) 值视为关键节点，根据 \(\text{SG}\) 定理，所有关键点的 \(\text{SG}\) 函数值的异或和为 \(0\) 则无必胜策略，反之有必胜策略。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int A[N], B[N];
int S[N];//set
int SG[N];
int SGsum = 0;
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
scanf("%d", &A[i]);
}
cin >> m;
for(int i = 1; i <= m; i ++)
{
scanf("%d", &B[i]);
}
for(int i = 1; i <= 1000; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
if(i < B[j])
{
continue;
}
S[SG[i - B[j]]] = i;
}
for(int j = 0; j <= 1000; j ++)
{
if(S[j] != i)
{
SG[i] = j;
break;
}
}
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
SGsum ^= SG[A[i]];
}
if(SGsum == 0)
{
puts("NO");
}
else
{
puts("YES");
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
if(A[i] < B[j])
{
continue;
}
if(SG[A[i] - B[j]] == (SGsum ^ SG[A[i]]))//N-set
{
printf("%d %d", i, B[j]);
return 0;
}
}
}
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号