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摘要： [CF2042D] Recommendations \(\text{Link}\) 发现所求即为包含 \([l,r]\) 的所有区间的交的长度减去 \([l,r]\) 的长度。考虑所有包含 \([l,r]\) 的区间 \([L,R]\)，不难发现其满足 \(L\le l,r\le R\)。由于我们要 阅读全文

摘要： 1 概念 线性基通常情况下指的是异或空间线性基。其标准定义是对于一个数集 \(S\)，以异或运算张成的数集与 \(S\) 相同的极大线性无关集。通俗的讲就是对于一个数集 \(S\)，线性基生成了一个集合，该集合中任意一些数的异或值组成的数集与 \(S\) 中任意一些数的异或值组成的数集相同，且该集合 阅读全文

摘要： 1 群论基础 1.1 群的定义 若集合 \(S\ne \varnothing\) 和 \(S\) 上的二元运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \(G(S,\cdot)\) 满足以下性质： 封闭性：\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\)。 结合律：\(\forall 阅读全文

摘要： 1 引入 \(\text{K-D Tree}\) 是一种高效处理 \(k\) 维空间信息的数据结构。具体的讲，它维护了 \(k\) 维空间中 \(n\) 个点的信息，并且拥有二叉搜索树的形态。 在 \(n\) 远大于 \(2^k\) 时 \(\text{K-D Tree}\) 有较好的时间效率，一般 阅读全文

摘要： 所谓持久化，就是可以保留每一个历史版本，并且支持操作的不可变特性。例如对于线段树而言，持久化意味着它可以保留多个历史版本的线段树，并且支持对历史版本的访问与修改。 本文将介绍几种常见数据结构的持久化方式。 1 持久化线段树 1.1 基本思想 保存每一个历史版本的线段树本身是简单的，直接开一堆线段树就 阅读全文

摘要： 线段树作为一种扩展性极强、复杂度优秀的数据结构，除了常规用法外还被开发出了很多其他的用途。本文将列举几种扩展用途及其应用。 0 基本操作 0.1 权值线段树 正常的线段树是维护区间上每一个点的值，而权值线段树则是维护每一个数字出现的次数（可以类比为桶）。 例如原本的 \(1-4\) 表示区间 \([ 阅读全文

摘要： 1 引入 众所周知，给定二维平面上的任意 \(n\) 个点，一定会有一个不超过 \(n-1\) 次的多项式与之对应。那么假如给出 \(n\) 个点，需要找到一个多项式 \(f(x)\) 使其对应，这个过程就是多项式插值。 而拉格朗日插值就是求解多项式插值的一种插值法。 2 拉格朗日插值 2.1 朴素 阅读全文

摘要： 1 积性函数和狄利克雷卷积 1.1 积性函数 1.1.1 定义 积性函数在以前的学习中遇到过很多，例如莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)，欧拉函数 \(\varphi(n)\) 等等。那么我们对积性函数定义如下： 称定义域在正整数上的函数叫做数论函数（也叫算数函数）。 对于一个数论函数 \(f(n) 阅读全文

摘要： 1 数论分块 数论分块是莫比乌斯反演的前置知识之一，其主要用于快速求解一些含有除法向下取整的和式，例如 \(\sum \lfloor\dfrac ni \rfloor\)。我们的主要思路是，由于 \(\lfloor\dfrac ni \rfloor\) 中有大量值相同，所以可以将这些值一样的部分放在 阅读全文

摘要： 提高组杂题训练做题记录 *A [CF1763C] Another Array Problem 首先我们会去想贪心策略，但是每一次取最大值和最小值操作并不是最优的，所以需要改变策略。 注意到如果我们对同一操作执行两次，这个区间内所有数会变成 \(0\)。因此假如我们在序列的一段进行这个操作，就可以将 阅读全文