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摘要： 所谓可持久化，就是可以保留每一个历史版本，并且支持操作的不可变特性。例如对于线段树而言，可持久化意味着它可以保留多个历史版本的线段树，并且支持对历史版本的访问与修改。 本文将介绍几种常见数据结构的可持久化方式。 1 可持久化线段树 1.1 基本思想 理论上讲主席树指的是可持久化权值线段树，但有时也会 阅读全文

摘要： 线段树作为一种扩展性极强、复杂度优秀的数据结构，除了常规用法外还被开发出了很多其他的用途。本文将列举几种扩展用途及其应用。 0 基本操作 0.1 权值线段树 正常的线段树是维护区间上每一个点的值，而权值线段树则是维护每一个数字出现的次数（可以类比为桶）。 例如原本的 \(1-4\) 表示区间 \([ 阅读全文

摘要： 1 引入 众所周知，给定二维平面上的任意 \(n\) 个点，一定会有一个不超过 \(n-1\) 次的多项式与之对应。那么假如给出 \(n\) 个点，需要找到一个多项式 \(f(x)\) 使其对应，这个过程就是多项式插值。 而拉格朗日插值就是求解多项式插值的一种插值法。 2 拉格朗日插值 2.1 朴素 阅读全文

摘要： 1 积性函数和狄利克雷卷积 1.1 积性函数 1.1.1 定义 积性函数在以前的学习中遇到过很多，例如莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)，欧拉函数 \(\varphi(n)\) 等等。那么我们对积性函数定义如下： 称定义域在正整数上的函数叫做数论函数（也叫算数函数）。 对于一个数论函数 \(f(n) 阅读全文

摘要： 1 数论分块 数论分块是莫比乌斯反演的前置知识之一，其主要用于快速求解一些含有除法向下取整的和式，例如 \(\sum \lfloor\dfrac ni \rfloor\)。我们的主要思路是，由于 \(\lfloor\dfrac ni \rfloor\) 中有大量值相同，所以可以将这些值一样的部分放在 阅读全文

摘要： 提高组杂题训练做题记录 *A [CF1763C] Another Array Problem 首先我们会去想贪心策略，但是每一次取最大值和最小值操作并不是最优的，所以需要改变策略。 注意到如果我们对同一操作执行两次，这个区间内所有数会变成 \(0\)。因此假如我们在序列的一段进行这个操作，就可以将 阅读全文

摘要： 提高组字符串专题做题记录 A [NOIP2020] 字符串匹配 考虑枚举循环节长度和循环次数，利用哈希判断合法，然后我们就可以求出 \(f(C)\) 了。此时我们需要在前 \(i\) 个前缀中找出满足 \(f(A)\le f(C)\) 的前缀有多少个，看上去可以用树状数组简单维护出来，但实际上由于 阅读全文

摘要： 提高组数学专题 1 做题记录 A [CF1909F1] Small Permutation Problem（Easy Version） 首先推性质，发现若令 \(d_i=a_i-a_{i-1}\)，则： 若 \(d_i=0\)，那么 \(1\sim i-1\) 位置上的空位不能放 \(i\)，\(i 阅读全文

摘要： 提高组贪心专题做题记录 A [NOIP2012 提高组] 国王游戏 考虑采用邻项交换法求解。考虑两个相邻的大臣 \(x,y\)，什么时候 \(x\) 比 \(y\) 优。那么假设 \(x\) 之前大臣左手数字乘积为 \(S\)，则两种方案对应的权值应该是 \(\max\{\dfrac{S}{b_x} 阅读全文

摘要： 前言 暑假和开学后一直在考模拟赛，前前后后考了有四十多场，这应该比我以前三年考过的模拟赛数量加起来还多了，所以这个赛季还是希望能考好一点的 （虽然模拟赛考的很烂）。 印象最清晰的是一场 S 组模拟赛把 CDQ 分治加斜率优化 dp 放在了 T1。很多大数据结构 T4 也是之前没有见过的码量（比如有一 阅读全文