UKE_Automation

摘要： 1 上升幂和下降幂 1.1 定义 我们定义上升幂 \(n^{\overline{m}}\) 和下降幂 \(n^{\underline{m}}\) 如下： \[\begin{aligned} n^{\overline{m}}=\prod _{i=n}^{n+m-1}i=\dfrac {(n+m-1)! 阅读全文

摘要： 多项式算法作为 OI 中较为困难的部分，其包含的知识是比较丰富的。本文将介绍多项式算法的基础——多项式乘法。 1 快速傅里叶变换 FFT 1.1 引入 首先我们知道一个多项式 \(f(x)\) 可以写作： \[f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \]那么我们如果想对两个多项式做乘法，会 阅读全文

摘要： 1 阶 1.1 定义 由欧拉定理可知，对于 \(a\in\mathbb{Z},m\in \mathbb{N}^+\)，如果 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。 因此满足同余式 \(a^n\equiv 1\pmod m\) 的最小正 阅读全文

摘要： 1 引入 插头 dp 是一种基于连通性状态压缩的动态规划，这一类问题要求我们记录元素的联通状况，例如在棋盘上走出一条回路等。此时朴素的状压 dp 难以处理，所以需要引入插头 dp 帮助我们求解。 开始前需要了解两个基本概念： 轮廓线：已决策状态和未决策状态的分界线。 插头：对于四连通的网格来讲，每一 阅读全文

摘要： 1 概述 首先我们需要知道一类问题，在这类问题中我们需要维护一个森林，支持加边和删边操作，然后要求维护树上的一些信息。这类问题称为动态树问题。 而 LCT，即 Link-Cut Tree，就是用于解决动态树问题的一种数据结构。它可以以 \(O(n\log n)\) 的均摊复杂度解决这类问题。 学习 阅读全文

摘要： 1 概念 替罪羊树是一种平衡树，它维护平衡的方式不是旋转或者随机权值，而是最简单的暴力重构。当在插入和删除的时候发现某个节点子树失衡就暴力拍平重构，如此保证均摊复杂度 \(O(\log n)\)。 当然这种思想不止运用在平衡树中，还用于重构其它的数据结构。 2 基本操作 2.1 重构 既然是替罪羊树 阅读全文

摘要： [CF2042D] Recommendations \(\text{Link}\) 发现所求即为包含 \([l,r]\) 的所有区间的交的长度减去 \([l,r]\) 的长度。考虑所有包含 \([l,r]\) 的区间 \([L,R]\)，不难发现其满足 \(L\le l,r\le R\)。由于我们要 阅读全文

摘要： 1 概念 线性基通常情况下指的是异或空间线性基。其标准定义是对于一个数集 \(S\)，以异或运算张成的数集与 \(S\) 相同的极大线性无关集。通俗的讲就是对于一个数集 \(S\)，线性基生成了一个集合，该集合中任意一些数的异或值组成的数集与 \(S\) 中任意一些数的异或值组成的数集相同，且该集合 阅读全文

摘要： 1 群论基础 1.1 群的定义 若集合 \(S\ne \varnothing\) 和 \(S\) 上的二元运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \(G(S,\cdot)\) 满足以下性质： 封闭性：\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\)。 结合律：\(\forall 阅读全文

摘要： 1 引入 \(\text{K-D Tree}\) 是一种高效处理 \(k\) 维空间信息的数据结构。具体的讲，它维护了 \(k\) 维空间中 \(n\) 个点的信息，并且拥有二叉搜索树的形态。 在 \(n\) 远大于 \(2^k\) 时 \(\text{K-D Tree}\) 有较好的时间效率，一般 阅读全文