小作业 13（2023 年北京高考圆锥曲线）

椭圆 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为 \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)，\(A\)、\(C\) 分别为 \(E\) 的上、下顶点，\(B\)、\(D\) 分别为 \(E\) 的左、右顶点，\(|AC|=4\)。点 \(P\) 为第一象限内 \(E\) 上的一个动点，直线 \(PD\) 与直线 \(BC\) 交于点 \(M\)，直线 \(PA\) 与直线 \(y=-2\) 交于点 \(N\)。求证：\(MN \parallel CD\)。

---

\(E:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)。

设 \(PM:x=ty+3\)。

\[\begin{cases}x=ty+3\\4x^2+9y^2-36=0\end{cases} \]

\[(4t^2+9)y^2+24ty=0 \]

\[y=\dfrac{-24t}{4t^2+9},x=\dfrac{-12t^2+27}{4t^2+9} \]

\[\therefore P\left(\dfrac{-12t^2+27}{4t^2+9},\dfrac{-24t}{4t^2+9}\right) \]

\[\begin{cases}x=ty+3\\x=-\dfrac32y-3\end{cases} \]

\[y=\dfrac{-12}{2t+3},x=\dfrac{-6t+9}{2t+3} \]

\[\therefore M\left(\dfrac{-6t+9}{2t+3},\dfrac{-12}{2t+3}\right) \]

\[\dfrac{1}{k_{AP}}=\dfrac{-12t^2+27}{-8t^2-24t-18}=\dfrac{-3(2t+3)(2t-3)}{-2{(2t+3)}^2}=\dfrac{3(2t-3)}{2(2t+3)} \]

\[\therefore AP:x=\dfrac{3(2t-3)}{2(2t+3)}(y-2) \]

代入 \(y=-2\)，得 \(x=\dfrac{-6(2t-3)}{2t+3}\)。

\[\therefore N\left(\dfrac{-6(2t-3)}{2t+3},-2\right) \]

\[\dfrac{1}{k_{MN}}=\dfrac{-6t+9+6(2t-3)}{-12+2(2t+3)}=\dfrac{6t-9}{4t-6}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{k_{CD}} \]

\[\therefore MN \parallel CD \]