138 道同构练习题（to be continued ...）

例 \(1\)：已知函数 \(f(x)=ae^x\ln x\)（\(a\ne 0\)），若 \(\forall x\in (0,1)\)，\(f(x)<x^2+x\ln a\)，求 \(a\) 的取值范围。

\[ae^x\ln x<x^2+x\ln a \]

\[ae^x\ln x<x\ln(ae^x) \]

\[\dfrac{\ln x}{x}<\dfrac{\ln(ae^x)}{ae^x} \]

\(\because x\in(0,1)\)，所以 \(\dfrac{\ln x}{x}<0\)，\(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) 在 \((0,1)\) 上单调递增，当 \(ae^x\ge 1\) 时，\(\dfrac{\ln(ae^x)}{ae^x}\ge 0\)，所以上述条件等价于 \(x<ae^x\)。

\[a>\dfrac{x}{e^x} \]

\[a\ge e \]

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例 \(2\)：已知 \(f(x)=e^x-a\ln x\)，若对任意 \(x\in (0,+\infty)\)，不等式 \(f(x)>a\ln a\) 恒成立，求正实数 \(a\) 的取值范围。

\[e^x-a\ln x>a\ln a \]

\[e^x>a\ln (ax) \]

\[e^xx>ax\ln (ax) \]

\[e^x\ln(e^x)>ax\ln(ax) \]

\[e^x>ax \]

\[a<\dfrac{e^x}{x} \]

\[0<a<e \]

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例 \(3\)：设实数 \(\lambda>0\)，若对任意的 \(x\in(0,+\infty)\)，不等式 \(e^{\lambda x}-\dfrac{\ln x}{\lambda}\ge 0\) 恒成立，求 \(\lambda\) 的取值范围。

\[e^{\lambda x}\ge\dfrac{\ln x}{\lambda} \]

\[e^{\lambda x}\lambda x\ge x\ln x \]

\[e^{\lambda x}\lambda x\ge e^{\ln x}\ln x \]

同例 \(1\) 的分析，可得 \(\lambda x\ge \ln x\)。

\[\lambda\ge\dfrac{\ln x}{x} \]

\[\lambda\ge\dfrac{1}{e} \]

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例 \(4\)：已知 \(e^x-1\ge \dfrac{\ln x+a}{x}\) 恒成立，求实数 \(a\) 的最大值。

\[a\le e^xx-x-\ln x=e^xx-\ln(e^xx) \]

\[a\le 1 \]

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例 \(5\)：设实数 \(m>0\)，若对任意的 \(x\ge e\)，若不等式 \(x^2\ln x-me^{\frac{m}{x}}\ge 0\) 恒成立，求 \(m\) 的最大值。

\[x^2\ln x\ge me^{\frac{m}{x}} \]

\[x\ln x\ge \frac{m}{x}e^{\frac{m}{x}} \]

\[\ln x\cdot e^{\ln x}\ge \frac{m}{x}e^{\frac{m}{x}} \]

\[\ln x\ge \frac{m}{x} \]

\[m\le x\ln x \]

\[m\le e \]

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例 \(6\)：对任意的 \(x\in(0,+\infty)\)，不等式 \(2x^3\ln x-me^{\frac{m}{x}}\ge 0\) 恒成立，求实数 \(m\) 的最大值。

题目疑似是错的？这里写一下同构的步骤。

\[2x^3\ln x\ge me^{\frac{m}{x}} \]

\[x^2\ln x\ge \frac{m}{2x}e^{\frac{m}{x}} \]

\[e^{2\ln x}\ln x\ge e^{\frac{m}{x}}\frac{m}{2x} \]

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例 \(7\)：已知函数 \(f(x)=m\cdot \ln(x+1)-3x-3\)，若不等式 \(f(x)>mx-3e^x\) 在 \(x\in(0,+\infty)\) 上恒成立，求实数 \(m\) 的取值范围。

\[m\cdot \ln(x+1)-3x-3>mx-3e^x \]

\[m\cdot \ln(x+1)-3(x+1)>mx-3e^x \]

令 \(f(x)=m\ln x-3x\)，\(f'(x)=\dfrac{m}{x}-3\)，要求 \(f'(1)\le 0\)，所以 \(m\le 3\)，当 \(m\le 3\) 时，在 \((1,+\infty)\) 上，\(f(x)\) 单调递减，\(x+1<e^x\)，所以原条件恒成立。

综上所述，\(m\le 3\)。

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例 \(8\)：对 \(\forall x>0\)，不等式 \(2ae^{2x}-\ln x+\ln a\ge 0\) 恒成立，求实数 \(a\) 的最小值。

\[2ae^{2x}\ge\ln\left(\frac{x}{a}\right) \]

\[2xe^{2x}\ge\frac{x}{a}\ln\left(\frac{x}{a}\right) \]

\[2xe^{2x}\ge\ln\left(\frac{x}{a}\right)e^{\ln\left(\frac{x}{a}\right)} \]

同例 \(1\) 的分析，可得 \(\displaystyle 2x\ge \ln\left(\frac{x}{a}\right)\)。

\[a\ge\dfrac{x}{e^{2x}} \]

\[a\ge\dfrac{1}{2e} \]

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例 \(9\)：若 \(x\in(0,+\infty)\)，\(\dfrac{e^{x-1}}{x}\ge x-\ln x+a\) 恒成立，求 \(a\) 的最大值。

\[e^{x-\ln x-1}\ge x-\ln x+a \]

当 \(x=1\) 时，\(a\le 0\)，当 \(a=0\) 时，\(e^{x-\ln x-1}\ge x-\ln x\) 恒成立，所以 \(a\le 0\)。

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例 \(10\)：已知关于 \(x\) 的不等式 \(\dfrac{e^x}{x^3}-x-a\ln x\ge 1\) 对于任意的 \(x\in(1,+\infty)\) 恒成立，求实数 \(a\) 的取值范围。

\[e^{x-3\ln x}\ge x+a\ln x+1 \]

当 \(x-3\ln x=0\) 时，\(x+a\ln x\le 0\)，\(a\le -3\)，当 \(a=-3\) 时，\(e^{x-3\ln x}\ge x-3\ln x+1\)，所以 \(a\le -3\)。

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例 \(11\)：已知不等式 \(x+a\ln x+\dfrac{1}{e^x}\ge x^a\)，对 \(x\in(1,+\infty)\) 恒成立，求实数 \(a\) 的最小值。

\[x+e^{-x}\ge x^a-a\ln x \]

\[e^{-x}-(-x)\ge e^{a\ln x}-a\ln x \]

\(a=0\) 时满足上式，所以只考虑 \(a<0\) 的情况。

\[-x\le a\ln x \]

\[a\ge -\dfrac{x}{\ln x} \]

\[a\ge -e \]

所以 \(a\) 的最小值为 \(-e\)。

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例 \(12\)：对任意的 \(x\in(0,+\infty)\)，恒有 \(a(e^{ax}+1)\ge 2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\cdot \ln x\)，求实数 \(a\) 的最小值。

\[ax(e^{ax}+1)\ge(x^2+1)\ln(x^2) \]

\[ax(e^{ax}+1)\ge(e^{\ln(x^2)}+1)\ln(x^2) \]

当 \(x\to+\infty\) 时，可得 \(a>0\)。

\[ax\ge \ln(x^2) \]

\[a\ge\frac{\ln(x^2)}{x} \]

\[a\ge\frac{2}{e} \]

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例 \(13\)：已知 \(x_0\) 是方程 \(2x^2e^{2x}+\ln x=0\) 的实根，则关于实数 \(x_0\) 的判断正确的是（\(\color{red}{C}\)）。

\(A.x_0\ge\ln 2\qquad B.x_0<\dfrac{1}{e}\qquad C.2x_0+\ln x_0=0\qquad D.2e^{x_0}+\ln x_0=0\)

\[2xe^{2x}=\dfrac{1}{x}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \]

\[2xe^{2x}=\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)e^{\ln\left(\frac{1}{x}\right)} \]

同例 \(1\) 的分析，可得 \(2x=\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\)，即 \(2x+\ln x=0\)，所以 \(C\) 正确，\(D\) 错误。

设 \(f(x)=2x+\ln x\)，\(f'(x)=2+\dfrac{2}{x}>0\)，所以 \(f(x)\) 为增函数。

\(f(\ln 2)=2\ln 2+\ln\ln 2>0\)，所以 \(x_0<\ln 2\)，\(A\) 错误。

\(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{2}{e}-1<0\)，所以 \(x_0>\dfrac{1}{e}\)，\(B\) 错误。

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例 \(14\)：已知函数 \(f(x)=x-\ln(x+1)\)，\(g(x)=e^x-x-1\)，若 \(g(x)\ge kf(x)\) 对 \(\forall x\in[0,+\infty)\) 恒成立，求实数 \(k\) 的取值范围。

\[e^x-x-1\ge kx-k\ln(x+1) \]

\[e^x-kx\ge x+1-k\ln(x+1) \]

\[e^x-kx\ge e^{\ln(x+1)}-k\ln(x+1) \]

令 \(h(x)=e^x-kx\)，\(h'(x)=e^x-k\)，则 \(h'(0)\ge 0\)，\(k\le 1\)；当 \(k\le 1\) 的时候，\(h'(x)\ge 0\)，\(h(x)\) 单调递增，因为 \(x\ge \ln(x+1)\)，所以 \(h(x)\ge h(\ln(x+1))\)。

综上所述，\(k\le 1\)。

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例 \(15\)：已知函数 \(f(x)=x\cdot e^{x+1}\)，\(g(x)=k\cdot\ln x+k(x+1)\)。设 \(h(x)=f(x)-g(x)\)，其中 \(k>0\)，若 \(h(x)\ge 0\) 恒成立，求 \(k\) 的取值范围。

\[x\cdot e^{x+1}\ge k\cdot\ln x+k(x+1) \]

\[x\cdot e^{x+1}\ge k\cdot\ln(x\cdot e^{x+1}) \]

\[\dfrac{1}{k}\ge\dfrac{\ln(x\cdot e^{x+1})}{x\cdot e^{x+1}} \]

\[\dfrac{1}{k}\ge \dfrac{1}{e} \]

\[0<k\le e \]

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例 \(16\)：已知函数 \(f(x)=x\ln x\)，\(f'(x)\) 为 \(f(x)\) 的导函数。证明：\(f(x)<2e^{x-2}\)。