小作业 10

若正数 \(a,b\) 满足 \(ab(a+8b)=20\)，求 \(a+3b\) 的最小值。

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1. 拉格朗日乘数法

定义拉格朗日函数 \(L(a,b,\lambda)=a+3b-\lambda[ab(a+8b)-20]\)。

\(c(\vec{x})=ab(a+8b)-20\)，又因为 \(a,b>0\)，所以 \(\nabla c(\vec{x})=\begin{bmatrix}2ab+b^2\\2ab+a^2\end{bmatrix}\neq 0\)。

\[\begin{cases}ab(a+8b)=20\\1+8b^2\lambda+2ab\lambda=0\\3+a^2\lambda+16ab\lambda=0\end{cases} \]

\(\lambda=\dfrac{-1}{8b^2+2ab}=\dfrac{-3}{a^2+16ab}\)，得 \(a^2+10ab-24b^2=0\)，即 \((a+12b)(a-2b)=0\)，因为 \(a,b>0\)，所以 \(a=2b\)。

解得 \(\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}\)，所以 \(a+3b\) 的最小值为 \(5\)。

2. 求导

设 \(t=a+3b\)，则 \(a=t-3b\)。

\(ab(a+8b)=(t-3b)b(t-3b+8b)=20\)，得 \(15b^3-2t^2b-t^2b+20=0\)。

设 \(f(b)=15b^3-2tb^2-t^2b+20\)，即 \(f(b)\) 在 \(b>0\) 处有至少一个零点。

\(f'(b)=45b^2-4tb-t^2=(9t+b)(5b-t)\)。

因为 \(t>0\)，所以 \(9t+b>0\)，只需要看 \(5b-t\) 的正负，\(5b-t\) 为增函数，在 \(t=5b\) 时等于 \(0\)，所以 \(f(b)\) 先减后增，在 \(b=\dfrac{t}{5}\) 处取得最小值，并且 \(\displaystyle\lim_{b\to 0^{+}} f(b)=20\)，\(\displaystyle\lim_{b\to+\infty} f(b)=+\infty\)，所以 \(f(b)\) 在 \(b>0\) 处至少有一个零点等价于 \(f\left(\dfrac{t}{5}\right)\le 0\)，即 \(\dfrac{-4t^3}{25}+20\le 0\)，解得 \(t\ge 5\)，此时 \(a=2\)，\(b=1\)，所以 \(a+3b\) 的最小值为 \(5\)。

3. 均值不等式

条件是 \(ab(a+8b)=20\)，需要求 \(a+3b\) 的最小值，尝试配凑均值不等式的形式。

\[20xy=xyab(a+8b)\le{\left(\dfrac{xa+yb+8b}{3}\right)}^3={\left(\dfrac{x+1}{3}a+\dfrac{y+8}{3}y\right)}^3 \]

所以有 \(y+8=3(x+1)\)。

并且均值不等式取等条件为 \(xa=yb=a+8b\)。

加上条件 \(ab(a+8b)=20\)。

\(4\) 个变量，\(4\) 个等式，舍去非正数的解，得 \(\begin{cases}x=5\\y=10\\a=1\\b=2\end{cases}\)，所以系数 \(x=5,y=10\)，取等条件 \(a=1,b=2\)。

具体地，\(1000=50ab(a+8b)\le{(2x+6y)}^3\)，所以 \(x+3y\ge 5\)，当且仅当 \(a=1,b=2\) 时取等。