例说提高运算速度+准确度的策略

前言

几乎所有数学成绩不理想的学生，其运算速度都不高，运算的准确度更低，所以好多人都关注如何提高运算的速度和准确度，但鲜有人思考到底该如何做才能提高运算速度和准确度。[补充记录]高中学生的初中学习阶段中的弱项：去括号变形，移项变形，合并同类项，通分，因式分解等，由于初中对代数的本质的理解比较浅薄，所以高中阶段常出错 。比如，见到 \(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(2\) 能很容易想到将其分解为 \(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(2\)\(=\)\((x-1)\)\((x-2)\)，但是见到 \(4^x\)\(-\)\(3\cdot\)\(2^x\)\(+\)\(2\)，却想不到将其分解为 \(4^x\)\(-\)\(3\cdot\)\(2^x\)\(+\)\(2\)\(=\)\((2^x-1)(2^x-2)\) .

• 涉及提速运算中的相关技巧总结，已经单独成篇，请参阅提速运算中的小技巧

例说提高运算速度

✍️ 在一轮复习中，强化基础知识的理解和记忆、运用，尤其是数学常识的积累以及高频的变形技巧，在提高运算速度上显得尤其重要，而且这一点占了数学学习很大的篇幅[ \(60\%\) 以上]。

引例1，换元法中常用的例子，\(t=\sqrt{x}+1\)，则\(t\ge 1\)；\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，则\(|t|\ge 2\)；\(t=sinx+cosx\)，则\(t\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)；

引例2，大多数学生记不住这个公式，高考中不会给出来：\(V_{正三棱台}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\times(S'+\sqrt{S'S}+S)\times h\)， 如何记忆

引例3，熟记一些常用的结论，以提高运算速度；比如 \(x^2\pm x+1>0\)，\((x\cdot lnx)'=lnx+1\)，\(e^x>0\) 等等，常见的配角技巧：^[1]，角的拆分和整合，^[2]，

引例4，记准常用题型和结论，理解透彻，对于深入学习，帮助大，运算速度快 .

✍️ 通过解后反思，沉淀数学知识，深入理解数学本质，从而提高运算速度。 相关引申阅读理解代数式的本质提高学生数学素养

引例5， \(4^x\)\(-\)\(3\cdot\)\(2^x\)\(+\)\(2\)\(=\)\((2^x-1)(2^x-2)\) ，\(\log^2_2x\)\(-\)\(3\cdot\)\(\log_2x\)\(+\)\(2\)\(=\)\((\log_2x-1)(\log_2x-2)\) .

引例6， 对字母内涵的思考，对数学的本质感悟越深，理解越到位，效果越好 .

✍️ 研究算理，总结提炼和高效使用结论。

引例7，集合章节题目中，遇到 \(A\subseteq B\) 常常要考虑针对 \(A\) 分类讨论，那么遇到 与 \(A\subseteq B\) 等价的命题，自然也需要考虑针对 \(A\) 分类讨论；

$A\subseteq B$ $\Longleftrightarrow$ $A\cap B=A$ $\Longleftrightarrow$ $A\cup B=B$ $\Longleftrightarrow$ $\complement_UB\subseteq \complement_UA$ $\Longleftrightarrow$ $A\cap(\complement_UB)=\varnothing$

引例8，若集合\(B=\{x\mid m+1\leq x\leq 1-2m \}\)，集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，若\(A\subsetneqq B\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：自行画出草图可知，如果分类讨论列不等式组[①左端点可以取相等右端点取不等；②左端点取不等右端点取相等；③左端点取不等右端点取不等；]这样将一个题目就变成了三个题目的求解，速度自然就慢了，那么怎么能更快呢？我们可以这样做：

先列出条件\(\begin{cases}&m+1\leq-2\\&1-2m \ge 7\end{cases}\)，解得\(m\leq -3\)，

接下来验证\(m=-3\)是否满足题意。

当\(m=-3\)时，\(A=[-2，7]\)，\(B=[m+1，1-2m]=[-2，7]\)，此时\(A=B\)，

不满足题意，舍去，故实数\(m\)的取值范围为\(\{m\mid m<-3\}\)。

✍️ 一般来说，任何一个数学问题，既可以从形的角度思考深入，也可以从数的角度切入思考；

向量有形的特征，也有数的特征，我们以向量的内积运算为例说明 .

引例9，已知 \(A\)，\(B\) 是圆 \(O: x^{2}+y^{2}=4\) 上的两个动点， \(|\overrightarrow{AB}|=2\)，\(\overrightarrow{OC}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)， 若 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点， 则 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}\) 的值为 【\(\qquad\)】

$A.\sqrt{3}$ $B.2\sqrt{3}$ $C.2$ $D.3$

法1：基向量法，即以向量 \(\overrightarrow{OA}\) 和 \(\overrightarrow{OB}\) 为基底，表达向量 \(\overrightarrow{OC}\) 和 \(\overrightarrow{OM}\)，再代入运算即可。

因为 \(\overrightarrow{OC}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{OM}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) ，

所以 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=(\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB})\cdot\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)

\(=\cfrac{1}{6}(\overrightarrow{OA}^{2}+2\overrightarrow{OB}^{2}+3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})\) ，

又 \(\triangle OAB\) 为等边三角形，所以 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2\times2\cos 60^{\circ}=2\) ，\(\overrightarrow{OA}^{2}=4\) ，\(\overrightarrow{OB}^{2}=4\) ，

所以 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=3\) ， 故选 \(D\) .

法2：特殊化策略，【考试中的首选方法】既然点 \(A\) 和点 \(B\) 都是圆上的动点为什么可以这样思考呢，由于点 \(C\) 和点 \(M\) 在线段 \(AB\) 上的位置都是相对于点 \(A\) 和点 \(B\) 都是相对确定的，这样 \(|\overrightarrow{OC}|\) 和 \(|\overrightarrow{OM}|\) 都是确定值，而且向量夹角也是确定值，故 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}\)应该是确定值，与夹角无关的，那么我们将点 \(A\) 放在最特殊的位置，应该是可以的，运算也简单，何乐而不为呢！，那么可以将点 \(A\) 放置在 \((2,0)\) 处，此时由于 \(|AB|=2\)，则 \(\triangle OAB\)为等边三角形，故 点 \(B\) 可以放置在 点 \((1,\sqrt{3})\) 处，这样向量 \(\overrightarrow{OA}=(2,0)\) ， \(\overrightarrow{OB}=(1,\sqrt{3})\) ，

则 \(\overrightarrow{OC}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}(2,0)\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}(1,\sqrt{3})\)\(=\)\((\cfrac{4}{3},\cfrac{2\sqrt{3}}{3})\) ，

又由于点 \(M\) 为 \(AB\) 的中点，故 \(M(\cfrac{3}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)，则 \(\overrightarrow{OM}\)\(=\)\((\cfrac{3}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2})\) ，

故 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=(\cfrac{4}{3},\cfrac{2\sqrt{3}}{3})\cdot(\cfrac{3}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2})=3\)，故选 \(D\) .

法3：向量坐标法，如果上述的方法理解还是有疑虑，那么可以采用这个方法来计算打消我们的顾虑，就是运算比较麻烦。

由于点 \(A\) 和点 \(B\) 都是圆上的动点，且 \(|AB|=2\) ，圆的半径也是 \(r=2\) ，故 \(\triangle OAB\)为等边三角形，利用圆的参数方程，令点 \(A(2\cos\theta,2\sin\theta)\)，则点 \(B(2\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),2\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3}))\)，这样

\(\overrightarrow{OA}\)\(=\)\((2\cos\theta,2\sin\theta)\) ，\(\overrightarrow{OB}\)\(=\)\((2\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),2\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3}))\) ，

\(\overrightarrow{OC}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)\(=\)\(\left(\cfrac{2}{3}\cos\theta+\cfrac{4}{3}\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),\cfrac{2}{3}\sin\theta+\cfrac{4}{3}\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right)\) ，

\(\overrightarrow{OM}\)\(=\)\(\left(\cos\theta+\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),\sin\theta+\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right)\) ，

故 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}\)\(=\)\(\left[\cfrac{2}{3}\cos\theta+\cfrac{4}{3}\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)\(\left[\cos\theta+\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)

\(+\)\(\left[\cfrac{2}{3}\sin\theta+\cfrac{4}{3}\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)\(\left[\sin\theta+\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)

\(=\)\(\cfrac{2}{3}\cos^2\theta\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}\sin^2\theta\)\(+\)\(\cfrac{4}{3}\cos^2(\theta+\cfrac{\pi}{3})\)\(+\)\(\cfrac{4}{3}\sin^2(\theta+\cfrac{\pi}{3})\)

\(+\)\(\cfrac{2}{3}\left[\cos\theta\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})+\sin\theta\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)\(+\)\(\cfrac{4}{3}\left[\cos\theta\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})+\sin\theta\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)

\(=2+2\cos(\theta-\theta-\cfrac{\pi}{3})=2+1=3\)，故选 \(D\) .

✍️ 在进退转化中体会数学策略的使用，激活数学思维的灵活性，提高运算速度，体验更多的进退间的数学策略

引例10，【对数的运算】求值：\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

\(=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

\(=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}\)

\(=\cfrac{1}{2}\)

✍️ 平时的学习中有意识的积累等价转化的常用结论，能高效提高运算速度，拓宽解题思路，加深对数学知识的理解 .

引例11， 能转化为不等式恒成立命题

引例12， 能转化为不等式能成立命题

✍️ 理解掌握三种数学语言之间的等价转化，从而提高运算速度 。

引例13，对三种数学语言之间的相互转化储备不足，理解不到位，导致迟迟不敢下笔耽搁时间；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点[自然语言] $\Leftrightarrow $ 方程\(f(x)=-g(x)\)有解[符号语言]，从而可以再转化为方程 \(f(x)+g(x)=0\) 有解的问题 . 相关阅读 方程有解

✍️ 解题中如果涉及到分类讨论，往往很麻烦，如果能巧妙的绕过分类讨论，那肯定能提速不少，能绕过分类讨论的情形总结。

引例14，比如，已知函数\(y=f(x)=e^x+e^{-x}\)，求解不等式\(f(x)>f(2-x)\)中\(x\)的取值范围。解析过程

✍️ 有些题目中用到变量，大胆设元，运算到最后会消去元，如果迟迟不敢设元，速度自然上不去；借用比例因子简化运算

引例15， 设等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和为\(S_n\)，若\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}\)，则\(\cfrac{S_9}{S_6}\)=？

分析：引入比例因子，设\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{k}{2k}(k\neq 0)\)，

则\(S_6=k\)，\(S_3=2k\)，\(S_6-S_3=-k\)，由\(S_3，S_6-S_3，S_9-S_6\)成等比数列，

可知\(S_9-S_6=\cfrac{k}{2}\)，则\(S_9=\cfrac{3k}{2}\)，故\(\cfrac{S_9}{S_6}=\cfrac{\frac{3k}{2}}{2k}=\cfrac{3}{4}\)。

✍️ 阅读经典数学题目过程中碰到 同理 时不要轻易放过，深入思考并积累，在自己的解题中，主动使用同理同法，计算一次，仿写一次，可提高运算速度

✍️ 灵活利用题目已有的结论，大胆应用，能节省大量的运算时间，这一点在高考题目中很常见[第二问往往能使用第一问的现成结论]，也是检测学生的数学素养的高低的一个手段。

引例16，【2021浙江宁波期末改编】已知数列 \(\{b_n\}\) 满足 \(b_n=\left\{\begin{array}{l}2^{n+1}+1,&n=2k,k\in N^*\\-(2^{n+1}+1),&n=2k-1,k\in N^*\end{array}\right.\)，求数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和\(T_n\)。

解析：当 \(n=2k\)，\(k\in N^*\)时，本题目使用到并项求和方法

\(T_n=-(2^2+1)+(2^3+1)-(2^4+1)+(2^5+1)-\cdots-(2^{n-1}+1)+(2^n+1)\)

\(=-2^2+2^3-2^4+2^5-\cdots-2^{n-1}+2^n=(-2^2+2^3)+(-2^4+2^5)+\cdots+(-2^{n-1}+2^n)\)

\(=2^2+2^4+\cdots+2^n=\cfrac{4(4^{\frac{n}{2}}-1)}{4-1}=\cfrac{4}{3}(2^n-1)\)

当 \(n=2k-1\)，\(k\in N^*\)时，\(T_n\)\(=\)\(T_{n+1}\)\(-\)\(b_{n+1}\)备注：此处若再次使用同样的思路来计算 \(T_n\)，将会浪费大量的时间，但是若能注意到当 \(n\) 为奇数时，\(T_{n+1}\) 的下标就是偶数，故可以直接套用上述的计算结果，而 \(b_{n+1}\) 的下标也是偶数，可以套用已知条件，从而节省大量的时间和精力，也体现了思维的层次性，

则 \(T_n=T_{n+1}-b_{n+1}=\cfrac{4}{3}(2^{n+1}-1)-(2^{n+2}+1)=-\cfrac{2^{n+2}+7}{3}\)

从而， \(T_n=\left\{\begin{array}{l}\cfrac{4}{3}(2^n-1),&n=2k,k\in N^*\\-\cfrac{2^{n+2}+7}{3},&n=2k-1,k\in N^*\end{array}\right.\)，

✍️ 由抽象切入具体，可以降低思维的难度，从而提高解题速度；

引例17，【类比推理】在等差数列 \(\{a_{n}\}\) 中，若 \(a_{10}=0\)， 则有 \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{19-n}\) \((n<19\)，\(n\in\)\(N_{+})\)成立，类比上述性质，在等比数列 \(\{{b}_{n}\}\) 中，若 \(b_{9}=1\)， 则存在的等式为______________.

分析：将已知条件中的加法类比为乘法，由于\(2\times 10=1+19\)，\(2\times 9=1+17\)，

故类比得到: \(b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{n}=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{17-n}\) \((n<17，n\in N_{+})\) ，^[3]

✍️ 来回运算[先乘后除，先加后减]浪费时间；应该先化简再运算，还有哪些素材可以先化简

引例18，教学实践中记录的大多学生计算下式时的状态，不做化简，他们是这样做的：

\(cos\theta=\cfrac{(30\sqrt{5})^2+(20\sqrt{10})^2-50^2}{2\times 30\sqrt{5}\times 20\sqrt{10}}=\cfrac{4500+4000-2500}{6000\sqrt{2}}=\cfrac {\sqrt{2}}{2}\)

但是如果每次变形都先约分，再化简，真的会省事不少：

\(cos\theta=\cfrac{90\mkern-8.5mu/0\mkern-8.5mu/\times 5+40\mkern-8.5mu/0\mkern-8.5mu/\times 10-250\mkern-8.5mu/0\mkern-8.5mu/}{2\times 20\mkern-8.5mu/\times 30\mkern-8.5mu/\times\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\cfrac{9\times 5+4\times 10-25}{2\times 2\times 3\times \sqrt{5}\times \sqrt{5}\times \sqrt{2}}\)

\(=\cfrac{9\times 5\mkern-8.5mu/+4\times 2\times 5\mkern-8.5mu/-5\times 5\mkern-8.5mu/}{2\times 2\times 3\times \sqrt{5}\mkern-8.5mu/\times \sqrt{5}\mkern-8.5mu/\times \sqrt{2}}=\cfrac{9+8-5}{2\times2\times 3\times\sqrt{2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)

✍️ 好些学生的心算能力弱，运算中的冗余步骤太多，极大影响了运算速度的提高；

引例19，比如对不等式\(\cfrac{1}{x}-ax-2<0(x>0)\)分离参数，

有学生这样运算，\(-ax<2-\cfrac{1}{x}\)，\(-a<\cfrac{2}{x}-\cfrac{\frac{1}{x}}{x}\)，\(-a<\cfrac{2}{x}-\cfrac{1}{x^2}\)，\(a>-\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{x^2}\)，\(a>\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\)，

上述解法的书写过程中，出现了太多的不必要的步骤，有些步骤需要一定的口算心算能力，而不必要写出来。其实，上述过程最多写两步，超过就是多余了。

\(ax>\cfrac{1}{x}-2\)，\(a>\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\)。

✍️ 思维训练不够，思维比较僵化；

引例20，比如求函数零点的方法有解方程法，图像法，零点存在性定理法三种，而一个复杂的题目中可能要用到 \(2\) 种以上的方法。

如求函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2-2，x\leqslant 0}\\{2x-6+lnx，x>0}\end{array}\right.\quad\)的零点个数时，第一段用解方程法，第二段用图像法，共有两个零点。如果你死守着只用一种，速度自然就会慢下来；

✍️ 对数学公式的理解层次低，公式使用不灵活，比如想不到主动逆向使用公式；

引例21，比如，已知定义在 \(R\) 上的增函数函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)+f(y)=f(xy)\)，解 \(f(x)\)\(+\)\(f(2x-1)\) \(<\) \(f(3)\)；

分析：利用条件 \(f(x)\)\(+\)\(f(y)\)\(=\)\(f(xy)\)，将左端变形为 \(f(x)\)\(+\)\(f(2x-1)\)\(=\)\(f[x(2x-1)]\)，

故原不等式变形为\(f[x(2x-1)]\) \(<\) \(f(3)\)，又定义域 \(R\)，单调递增，

故得到\(x(2x-1)\) \(<\) \(3\)，然后求解得到 \(-1<x<\cfrac{3}{2}\)。

若题目中条件 \(f(x)\)\(+\)\(f(y)\)\(=\)\(f(xy)\) 变形为 \(f(xy)\)\(=\)\(f(x)\)\(+\)\(f(y)\)，或者 \(f(xy)\)\(-\)\(f(x)\)\(=\)\(f(y)\)，则学生可能更想不出该如何使用。

✍️ 注意题目特点，选用更好更快捷的求解思路，做好每个题目的解后反思，积累数学素养 .

引例22，关于\(x\)的不等式\(a^2x^2+ax-2=0\)在 \([-1,1]\) 上有解，求\(a\)的取值范围；

分析：注意到本题目是方程有解的类型，但是如果首选分离参数法，就成了下下之选，而且你也分离不了参数 \(a\)，故需要选择其他的思路 。注意到可以因式分解，故这样求解：

解： \(a^2x^2+ax-2=0\)，即\((ax+2)(ax-1)=0\)；显然 \(a\neq 0\)，利用图象转化可知，方程的根 \(\cfrac{1}{a}\) 或 \(-\cfrac{2}{a}\) 必在给定区间 \([-1,1]\) 上，

则\(-1\leqslant \cfrac{1}{a}\leqslant 1\)或\(-1\leqslant -\cfrac{2}{a}\leqslant 1\)

若常规方法，利用解分式不等式求解，太浪费时间，注意到题目的特点，此处换用绝对值不等式求解；

即\(|\cfrac{1}{a}|\leqslant 1\)或\(|\cfrac{2}{a}|\leqslant 1\)，即\(|a|\geqslant 1\)或\(|a|\geqslant 2\)，

则\(|a|\geqslant 1\)，即\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 1\)。

提高准确度

熟练记忆数学公式，这是运算准确的前提和基础，否则会南辕北辙；比如三个数成等差[或等比]的设元技巧；

准确理解数学条件，学会正确使用数学条件，比如数列题目中忘记\(n\in N^*\)，三角题目中忘记\(k\in Z\)，严格来说就是错误的，但好多学生对此不以为然；

弄清楚数学变形的算理，不要随便施加变形；

引例1，如已知\(x=-2\)，两边平方后变形为\(x^2=4\)，实际上已经产生了增根\(x=2\)了。 需要验证的素材

引例2，比如，已知\(x=2\)，给两边同乘以\(x\)，则得到\(x^2=2x\)，则实际上已经产生了增根\(x=0\)了。如果要保证不产生增根，则要保证所乘的是非零因子。

引例3，对抛物线\(y^2=8x\)而言，如果需要取其上一个动点，坐标设为\((2t^2，4t)\)，就比设为\((x，y)\)或者\((x，\pm 2\sqrt{2}x)\)要好计算的多，且不容易出错；

引例4，注意：由\(sinAcosB=sinA\)，只能得到\(cosB=1\)，从而得到\(B=\cfrac{\pi}{2}\)，即直角三角形；由\(cosAsinB=cosAsinC\)，应该得到\(cosA=0\)或\(sinB=sinC\)，从而得到\(A=\cfrac{\pi}{2}\)或\(B=C\)，即直角三角形或等腰三角形；

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1. \(2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)；\(2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)\)；
   \(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)；\(\beta=\alpha-(\alpha-\beta)\)；
   \(\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；\(\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；
   \((\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；
   \(2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})\)；\(2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})\)； ↩︎

2. \((\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；
   \(2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})\)；\(2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})\)； ↩︎

3. 【从验证层面】：从抽象的题目入手分析不清楚，那么就将其具体化，再来思考问题，比如令\(n=11\)，
   对等差数列而言，等式的左端
   \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{11}\)
   \(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8+a_9+a_{10}+a_{11}\)
   \(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8+3a_{10}\)
   \(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8\)，
   等式的右端\(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8\)，故原等式成立；
   对等比数列而言，等式的左端
   \(b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{11}\)
   \(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\times b_{7}\times b_{8}\times b_{9}\times b_{10}\times b_{11}\)，
   \(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\times (b_{9})^5\)，
   \(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\)，
   等式的右端 \(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\)，故类比得到的等式成立；
   【从逻辑证明层面】：仿上可以进行相关的证明； ↩︎