归纳数学常识提高运算速度

前言

高三数学的学习中，如果能从一开始做好学习规划，同步整理归纳各章节的数学常识，必然会有助于提高运算速度。

涉及函数性质

①当\(x\in(0，1)\)时，\(\cdots<x^4<x^3<x^2<x<1\)；此时与幂函数有关。幂函数图像

②“\(a>b\)”是“\(a^2>b^2\)”的既不充分也不必要条件，和函数\(y=x^2\)的单调、奇偶有关；

“\(a>b\)”是“\(|a|>|b|\)”的既不充分也不必要条件，和函数\(y=|x|\)的单调性和图像有关；

“\(|a|>|b|\)”是“\(a^2>b^2\)”的充分必要条件，

“\(a>b\)”是“\(a^3>b^3\)”的充要条件，和函数\(y=x^3\)的单调性有关；

“\(a>b\)”是“\(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)”的必要不充分条件，和函数\(y=\sqrt{x}\)的单调性和图像有关；

③复合函数的求导

④不等式性质\(a>b,ab>0\Rightarrow \cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\)，其实与函数\(y=\cfrac{1}{x}\)有关；

\(a>b，ab>0\)其实包含两种情形：\(a>b>0\)和\(0>a>b\)；

由函数\(y=\cfrac{1}{x}\)的图像或者单调性都可以很容易得到\(\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\)，当然我们由\(a < 0< b\)也可以得到\(\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\)。

⑤对于函数\(f(x)，x\in D\)，若存在\(x_1，x_2\in D\)，使得\(f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)\)恒成立，

则\(f(x_1)=f(x)_{min}\)，\(f(x_2)=f(x)_{max}\)，且\(x_1，x_2\)分别是最小值点和最大值点。

⑥奇偶性：\(f(-x)+f(x)=0\)，奇函数；\(f(-x)-f(x)=0\)，偶函数；

多项式函数\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)为奇函数的充要条件是偶次幂项的系数为零，即\(a=c=e=0\)

多项式函数\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)为偶函数的充要条件是奇次幂项的系数为零，即\(b=d=0\)

⑦单调性：\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，则\(f(x)\)为增函数；\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0\)，则\(f(x)\)为减函数；

⑧周期性：\(f(x+a)=-f(x)\)，则\(T=2a\)；\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\)，则\(T=2a\)；

⑨对称性：\(f(2-x)+f(x)=4\)，则函数关于点\((1，2)\)对称；\(f(4-x)-f(x)=0\)，则函数关于直线\(x=2\)对称；

⑩熟记结论：\(t=\sqrt{x}+1\)，则\(t\ge 1\)；\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，则\(|t|\ge 2\)；\(t=sinx+cosx\)，则\(t\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)；

依托指数函数 \(y=(\cfrac{1}{2})^x\) 可得到，\((\cfrac{1}{2})^1\)\(>\)\((\cfrac{1}{2})^2\)\(>\)\((\cfrac{1}{2})^3\)\(>\)\((\cfrac{1}{2})^4\)\(>\)\((\cfrac{1}{2})^5\)\(>\)\((\cfrac{1}{2})^6\)\(>\)\((\cfrac{1}{2})^7\)

则有：\(1-(\cfrac{1}{2})^1<1-(\cfrac{1}{2})^2<1-(\cfrac{1}{2})^3<1-(\cfrac{1}{2})^4<1-(\cfrac{1}{2})^5<1-(\cfrac{1}{2})^6<1-(\cfrac{1}{2})^7\)

即：\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{3}{4}<\cfrac{7}{8}<\cfrac{15}{16}<\cfrac{31}{32}<\cfrac{63}{64}<\cfrac{127}{128}\)

涉及不等式性质

①能转化为恒成立问题的素材：全称命题，定义域为\(R\)的问题，不等式解集为\(R\)或者区间\([a，b]\)；

能转化为能成立问题的素材：特称命题，不等式有解问题，

②解不等式中常用的因式分解：\(ab+1>a+b\Leftrightarrow (a-1)(b-1)>0\Leftrightarrow (1-a)(1-b)>0\)；

\(x^2-(a^2+a)x+a^3=(x-a^2)(x-a)\)；\(ax^2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)\)；

③已知\(x>y>z\)，且\(x+y+z=0\)，则可知\(x>0\)，\(z<0\)，\(y\)值不能确定。

由此我们可知，在\(\Delta ABC\)中，最大的内角不小于\(60^{\circ}\)；最小的内角不大于\(60^{\circ}\)；

由\(0<a<b\)，且\(a+b=1\)，则\(0<a<\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{2}<b<1\)；

④\(x\in(0，\cfrac{\pi}{2})\)，则\(sinx < x < tanx\)；\(1< sinx+cosx \leq \sqrt{2}\)；\(|sinx|+|cosx|\ge 1\)；

⑤在锐角三角形中，\(sinA > cosB\)；\(sinB > cosC\)；\(sinC >cosA\)；

⑥\(A >\cfrac{\pi}{2}-B\)，即\(sinA > sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)，其余同理；

\(sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC\)

⑦若\(A、B\)是钝角三角形的两个锐角，则有\(sinA < cosB\)；\(cosA > sinB\)；

⑧对\(\forall x\in R，x^2 \pm x+1>0\)恒成立；比如解不等式\(ln^2(lnx)-ln(lnx)+1>0\)，

令\(ln(lnx)=t\)，则转化为\(t^2-t+1>0\)，故\(t=ln(lnx)\in R\)，即解集为\(\{x\mid x>0\}\)

⑨恒成立模型：已知\(x\in D\)，\(f(x)\ge A\)恒成立\(\Leftrightarrow f(x)_{min}\ge A\)；

\(x\in D\)，\(f(x)\leq A\)恒成立\(\Leftrightarrow f(x)_{max}\leq A\)；

⑩能成立模型：已知\(x\in D\)，\(f(x)\ge A\)能成立\(\Leftrightarrow f(x)_{max}\ge A\)；

\(x\in D\)，\(f(x)\leq A\)能成立\(\Leftrightarrow f(x)_{min}\leq A\)；

⒒不等式证明中比较常用的不等关系：\(e^x\ge x+1\)；\(x-1\ge lnx\)；

⒓若\((x-1)^2\leq 0\)，则有\(x=1\)；若\(|x-2|\leq 0\)，则有\(x=2\)；则\(B=\{x\mid x^2-1<0\}=\varnothing\)

⒔实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的：

①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；

②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；

④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；

⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；

⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；

⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；

⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；

⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；

⒕

涉及导数

①

②复合函数的求导

③直线和函数相切时的切点和直线的斜率的求法；

函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)相切于点\(Q\)，求点\(Q\)的坐标。\((e，1)\)

分析：设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0,y_0)\)，则有

\(\left\{\begin{array}{l}{y_0=kx_0}\\{ y_0=lnx_0 }\\{k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}}\end{array}\right.\)；

从而解得\(x_0=e，y_0=1，k=\cfrac{1}{e}\)，

故切点\(Q\)的坐标为\((e，1)\)，此时的切线的斜率为\(k=\cfrac{1}{e}\) 具体参见课件

④

涉及数列

①在\(\Delta ABC\)中，三个内角\(A、B、C\)成等差数列，则\(B=\cfrac{\pi}{3}\)。

②在数列章节中，先不做计算，保持数列的项的形很重要，因为形带有相应的数学信息。

比如\(a_1=1，a_2=1+2，a_3=1+2+3，a_4=1+2+3+4\)，不做计算，就很方便观察归纳\(a_n=1+2+\cdots+n\)；

③常用的运算公式还有\(1-q^6=1-(q^3)^2=(1+q^3)(1-q^3)\)；

\(1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)\)；\(1-q^2=(1-q)(1+q)\)；

④当涉及等比数列的\(S_n\)时，若下标\(n\)比较小的时候，我们常常使用定义式求解而不是用公式，

比如已知等比数列的\(S_n=8\)，则可知\(a_1+a_2+a_3=8\)，这样可以有效的避免分类讨论，

而不是利用\(\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}=8\)来计算，

如果非要利用这个公式，你就必须先分类讨论排除\(q\neq 1\)，否则使用就是错的。

⑤设等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和为\(S_n\)，若\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}\)，则\(\cfrac{S_9}{S_6}\)=？

分析：引入比例因子，设\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{k}{2k}(k\neq 0)\)，

则\(S_6=k\)，\(S_3=2k\)，\(S_6-S_3=-k\)，由\(S_3，S_6-S_3，S_9-S_6\)成等比数列，

可知\(S_9-S_6=\cfrac{k}{2}\)，则\(S_9=\cfrac{3k}{2}\)，故\(\cfrac{S_9}{S_6}=\cfrac{\frac{3k}{2}}{2k}=\cfrac{3}{4}\)。

同时注意整体运算，比如给定等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q=2\)，求\(\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}\)的值。

由题目可知，\(\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}=\cfrac{(a_5+a_6+a_7)\cdot q^3}{a_5+a_6+a_7}=q^3=8\)

⑦形如\(a_{n+1}-a_n = k\cdot a_{n+1}\cdot a_n\)，(\(k\)为常数)，

等式两边同除以\(a_{n+1}\cdot a_n\)，变形得到\(\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=-k\)，即构造了等差数列\(\{\cfrac{1}{a_n}\}\)；

⑧在数列题目中，若出现各项为正数或各项均不为\(0\)，则必有\(a_n>0\)，

也有\(a_n+a_{n+1}>0\)，或者\(a_n+a_{n-1}>0\)，这样就为约分埋下了伏笔。

比如某个题目变形得到\((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=a_n+a_{n-1}\)，约掉\(a_n+a_{n-1}\)，得到\(a_n-a_{n-1}=1\)，即\(\{a_n\}\)是等差数列。

若出现证明数列\(\{a_n+1\}\)为等比数列，则你必须意识题目已经给了变形的提示，因为变形到最后必然会出现\(a_n+1=p(a_{n-1}+1)(p为常数)\)，

或者出现同类型的\(a_{n+1}+1=p(a_n+1)(p为常数)\)，这样你往上回溯，自然就会看到题目应该怎么变形了。

涉及三角形

\(sin15^{\circ}=cos75^{\circ}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)；\(sin75^{\circ}=cos15^{\circ}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)；\(tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}\)；\(cot15^{\circ}=2+\sqrt{3}\)；

三角形的三个内角之比为\(1：1：1(60^{\circ}，60^{\circ}，60^{\circ})\)；\(1：2：1(45^{\circ}，90^{\circ}，45^{\circ})\)；\(1：2：2(36^{\circ}，72^{\circ}，72^{\circ})\)；\(1：3：1(36^{\circ}，108^{\circ}，36^{\circ})\)；\(1：4：1(30^{\circ}，120^{\circ}，30^{\circ})\)；

①常用的勾股数：\(3n，4n，5n(n\in N^*)\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(8，15，17\)；\(9，40，41\)；

②连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算：

如三角形的三边之比为\(a：b：c=2：3：4\)，则可以设\(a=2k，b=3k，c=4k(k>0)\)；

同样的思路也可以用到圆锥曲线中，

比如已知离心率\(e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}\)，则可知\(c=\sqrt{3}t，a=t(t>0)\) ，则有\(b=\sqrt{2}t\)；

再如\(\Delta ABC\)中，给定\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}\)，

若令\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}=k\)，

则有\(cosA=\cfrac{a}{k}\)，\(cosB=\cfrac{b}{k}\)，\(cosC=\cfrac{c}{k}\)，

再结合\(sinA=\cfrac{a}{2R}\)，\(sinB=\cfrac{b}{2R}\)，\(sinC=\cfrac{c}{2R}\)，

故有\(tanA=tanB=tanC=\cfrac{k}{2R}\)，故\(A=B=C=\cfrac{\pi}{3}\)。

已知\(tan\theta=1\)，则\(\left\{\begin{array}{l}{sin\theta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\\{cos\theta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{sin\theta=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\\{cos\theta=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.\)；

已知\(tan\theta=2\)，则\(\left\{\begin{array}{l}{sin\theta=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cos\theta=\cfrac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{sin\theta=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cos\theta=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.\)；

已知\(tan\theta=3\)，则\(\left\{\begin{array}{l}{sin\theta=\cfrac{3\sqrt{10}}{10}}\\{cos\theta=\cfrac{\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{sin\theta=-\cfrac{3\sqrt{10}}{10}}\\{cos\theta=-\cfrac{\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.\)；

③需要我们烂熟于心的三角变形

\(sin\theta\pm cos\theta=\sqrt{2}sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})\)；

\(\sqrt{2}sin\theta\pm \sqrt{2}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})\)；

\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})\)；

\(\cfrac{1}{2}sin\theta\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})\)；

\(\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})\)；

\(sin\theta\pm\sqrt{3}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})\)；

④三角函数中的弦切互化

\(\cfrac{2sin\theta+3cos\theta}{sin\theta-2cos\theta}\xlongequal[转化为关于tan\theta的一元函数]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{2tan\theta+3}{tan\theta-2}\)(弦化切，二元化一元)；

\(\cfrac{2sin^2\theta+3cos^2\theta}{sin^2\theta-2cos^2\theta}\xlongequal[转化为关于tan\theta的一元函数]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan^2\theta+3}{tan^2\theta-2}\)(弦化切，二元化一元)

\(tan\theta=\cfrac{sin\theta}{cos\theta}\xlongequal[转化为二元函数]{分子分母同乘以2cos\theta}\)

\(=\cfrac{2sin\theta cos\theta}{2cos\theta cos\theta}=\cfrac{sin2\theta}{1+cos2\theta}\)(切化弦，一元化二元)；

\(tan\theta=\cfrac{sin\theta}{cos\theta}\xlongequal[转化为二元函数]{分子分母同乘以2sin\theta}\)

\(=\cfrac{2sin\theta sin\theta}{2cos\theta sin\theta}=\cfrac{1-cos2\theta}{sin2\theta}\)(切化弦，一元化二元)

⑤当涉及\(y=Asin(\omega x+\phi)+k\)型函数，需要做其图像时，如果将\(\omega x+\phi\)这个整体作为横轴，

比将\(x\)作为横轴要节省大量时间，但是要注意有些题目却要求横轴是\(x\)轴，比如单调区间类的题目。

⑥高考的三角函数解答题中， 若是与求三角形的周长问题，一般都是给定了或者必定能求解得到一组对边(比如\(a\))和对角(\(A\))，这时\(2R\)就相当于已知了。\(\cfrac{a}{sinA}=2R\)。

涉及函数图像

①由单位圆\(x^2+y^2=1\)可知，\(0< y <\sqrt{1-x^2}\)指\(x\)轴上方的单位圆的内部。

由椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)可知，\(0< y <\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}\)指\(x\)轴上方的椭圆内部。

②图像变换、函数与方程等章节中常用的函数：

\(y=|x|\)；\(y=a^{|x|}(a >1)\)；\(y=a^{|x|}(0< a <1)\)；\(y=|x^2-2x-4|\)

\(y=lg|x|\)；\(y=|lg|x||\)；\(y=|lgx|\)；

\(y=x\cdot lnx\)，\(y=\cfrac{lnx}{x}\)，\(y=e^x+e^{-x}\)；

\(y=x\cdot e^x\)，\(y=\cfrac{e^x}{x}\)，\(y=2^x+2^{-x}\)；

注意以下函数中的参数\(a\)的作用；

\(y=a\cdot x^2\)；\(y=a\cdot |x|\)；\(y=a\cdot e^x\)；\(y=a\cdot lnx\)

常见的奇函数：

\(f(x)=kx\)；\(f(x)=x^3\)；\(f(x)=x^k(k为奇数)\)；\(y=Asin\omega x\)；\(y=e^x-e^{-x}\)；\(y=2^x-2^{-x}\)；\(y=ln\cfrac{x+1}{x-1}\)；

常见的偶函数：

\(f(x)=x^2\)；\(y=k|x|(k\in R)\)；\(y=e^{|x|}\)；\(f(x)=x^k(k为偶数)\)；\(y=Acos\omega x\)；\(y=e^x+e^{-x}\)；\(y=2^x+2^{-x}\)；

③函数\(f(x)=x\pm sinx\)单调递增，因为\(f'(x)=1\pm cosx\ge 0\)；

函数\(f(x)=x\pm cosx\)单调递增，因为\(f'(x)=1\pm sinx\ge 0\)。

④函数\(y=x\)与函数\(y=sinx\)只有一个交点。

函数\(y=2^x\)与函数\(y=x^2\)在\(x\in R\)上时有三个交点；

函数\(y=2^x\)与函数\(y=x^2\)在\(x >0\)时有两个交点\((2，4)和(4，16)\)；

它们各自的反函数\(y=log _2\;x\)与\(y=\sqrt{x}\)在\(x>0\)时有两个交点\((4，2)和(16，4)\)；

⑤\(log_2^a=\cfrac{1}{log_a^2}\)；

\(log_ab\cdot log_bc \cdot log_cd=log_a d\)；

\(-ln\cfrac{x-1}{x+1}=ln\cfrac{x+1}{x-1}\)；

⑥已知函数\(f(x)=|lgx|\)，若 \(0< a < b\)且\(f(a)=f(b)\)，则得到\(0< a < 1 < b\)，

且\(f(a)=|lga|=-lga\)，\(f(b)=|lgb|=lgb\)，故由\(f(a)=f(b)\)得到，

\(-lga=lgb\)，即\(lga+lgb=0=lg1\)，故\(ab=1\)或者\(b=\cfrac{1}{a}\)；

⑦含有对数的函数的奇偶性判断，利用\(f(-x)+f(x)=0\)要简单一些，

比如\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)，\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}\)，

则\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，故\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}\)为奇函数。

⑧\(a^2-3ab+2b^2=0\Rightarrow(\cfrac{a}{b})^2-3(\cfrac{a}{b})+2=0\)

⑨做函数图像时，如果里面含有\(e^x\)和\(lnx\)时，则作图时除要特别注意单调性以外，还得注意函数值的正负以及特殊点。

如函数\(y=x\cdot e^x\)的图像，我们容易利用导数求出函数在\((-\infty，-1)\)上单调递减，

在\((-1，+\infty)\)上单调递增，且函数过原点；

但是在做草图时，很容易错误的画成如右图的红色虚线，

其实正确图像应该是图中的蓝色图像，

其中在区间\((-\infty，-1)\)上，函数的值应该是负值。

涉及恒过定点

①直线\(y=kx+1\)恒过定点\((0，1)\)；

②函数\(y=2^{x-a}\)恒过定点\((a，1)\)；函数\(y=log_2^\;{(x-a)}\)恒过定点\((a+1，0)\)；

③函数\(y=a\cdot |x|\)恒过定点\((0，0)\)；函数\(y=a\cdot x^2\)恒过定点\((0，0)\)；

④函数\(y=a\cdot x^2+1(a>0)\)恒过定点\((1，0)\)；\(a\)的作用会改变抛物线的张角大小。

⑤函数\(y=a\cdot e^x(a>0)\)不恒过定点\((1，0)\)；

⑥函数\(y=a(e^x+e^{-x})(a>0)\)恒过定点\((0，2a)\)；

⑥函数与导数题型中的恒过定点问题，

比如函数\(g(x)=lnx+1-x\)，我们应该看出来\(g(1)=0\)；

再比如函数\(g(x)=ln(x-1)+2-x\)，我们应该看出来\(g(2)=0\)；

再比如已知\(\lambda(x-1)-2lnx \ge 0\)对任意\(x\in(0，1]\)恒成立，若令\(h(x)=\lambda(x-1)-2lnx\)，你就应该看出来\(h(1)=0\)

再比如函数\(h(t)=2e^{t-\frac{1}{2}}-\cfrac{1}{t}\)，则\(h(\cfrac{1}{2})=0\)

⑦

涉及运算技巧

①\(35^2=3\times 4|5\times5=1225\)；\(x^2=|x|^2\)；\(\vec{a}^2=|\vec{a}|^2\)

②有关不等式混合组的运算，有时候验证比运算来得快，

比如\(\begin{cases}x=2①\\x^2-3x+2\leq 0②\end{cases}\)，一般我们是求解②式，和①式求交集，

不妨将①代入②式验证，要快得多，解集为单元素集\(\{2\}\)。

再比如，求解不等式组，\(\begin{cases}x\ge0①\\1-2^{-x}<-\cfrac{1}{2}②\end{cases}\)，

即\(\begin{cases}x\ge0①\\2^{-x}>\cfrac{3}{2}②\end{cases}\)，

若求解很麻烦，直接将①代入②验证，得到解集为\(x\in\varnothing\)。

再比如，某问题转化为解方程\(\cfrac{-2}{m-1}+\cfrac{3}{m+1}=0\)，如果是解答题或填空题求解\(m\)的值，我们只能求解；

若是在\(3、4、5、6\)中选择\(m\)的值，我们用代值验证法要快得多。

③相关性检验的\(K^2\)的计算中，先化简，后计算。

比如\(K^2=\cfrac{105\times(10\times30-20\times45)^2}{55\times 50\times30\times75}\)

\(=\cfrac{21\times(300-900)^2}{11\times 50\times30\times75}\)

\(=\cfrac{21\times600\times600}{11\times 50\times30\times75}\)

\(=\cfrac{21\times12\times20}{11\times 1\times 1\times75}\)

\(=\cfrac{7\times12\times20}{11\times 1\times 1\times25}\)

\(=\cfrac{7\times12\times4}{11\times 1\times 1\times5}\)

\(=\cfrac{336}{55}=6.11\)

再比如\(K^2=\cfrac{1200\times(500\times280-200\times220)^2}{700\times 500\times720\times480}\) [注意：若能提取公因数200，平方运算就简单多了]

\(=\cfrac{1200\times(200\times 25\times28-200\times220)^2}{700\times 500\times720\times480}\)

\(=\cfrac{1200\times 200^2\times (700-220)^2}{700\times 500\times720\times480}\)

\(=\cfrac{1200\times 200\times 200\times 480\times 480}{700\times 500\times720\times480}\)

\(=\cfrac{1200\times 200\times 200\times 480}{700\times 500\times720}\)

\(=\cfrac{1200\times 2\times 2\times 48}{7\times 5\times72}\)

\(=\cfrac{1200\times 2\times 2\times 2}{7\times 5\times3}\)

\(=\cfrac{400\times 2\times 2\times 2}{7\times 5}\)

\(=\cfrac{80\times 2\times 2\times 2}{7}\)

\(=\cfrac{640}{7}\)

④数乘到式乘 ，如图

⑤设点技巧：

如圆\(x^2+y^2=R^2\)，则圆上任一点坐标可设为\((x，y)\)，也可设为\((R\cdot cos\theta ，R\cdot sin\theta)\)；

椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1\)，

则椭圆上任一点坐标可设为\((x，y)\)，也可设为\((a\cdot cos\theta ，b\cdot sin\theta)\)；

再比如抛物线\(y^2=4x\)上任一点可设为\((4t^2，4t)\)

⑥设数技巧，三个数成等差数列，设为\(a-d，a，a+d\)；

三个数成等比数列，设为\(\cfrac{a}{q}，a，aq\)；

⑦解方程时两边能约分的，先约分再化简，能提高解题速度和准确度。

比如用余弦定理解题时有个方程是这样的：

\((60t)^2=80^2+40^2-2\times 80\times 40\times cos120^{\circ}\)，

先化简得到\(3600t^2=6400+1600+3200\)，

再化简得到\(36\not{0}\not{0}t^2=64\not{0}\not{0}+16\not{0}\not{0}+32\not{0}\not{0}\)，

两边再约去\(4\)，得到\(9t^2=16+4+8\)，

此时口算都能得到\(9t^2=28\)，即\(t=\cfrac{2\sqrt{7}}{3}\)。

⑧平均数的计算技巧

比如计算一组数据\(515，521，527，531，532，536，543，548，558，559\)的平均数。

\(\bar{x}=500+\cfrac{15+21+27+31+32+36+43+48+58+59}{10}=537\)；

\(\bar{x}=540+\cfrac{-25-19-13-9-8-4+3+8+18+19}{10}=540+\cfrac{-30}{10}=537\)；

⑨关于指数对数的运算

⑩解绝对值方程，\(|k+4|-|k|=2\)，

先移项得到\(|k+4|=2+|k|\)，再两边平方，

得到\(|k|=2k+3\)，再平方，得到\(k^2+4k+3=0\)

解得\(k=-1\)或\(k=-3\)

检验得到，\(k=-3\)舍去，故\(k=-1\)(注意，一旦平方可能扩大范围，造成增根，故要想到检验)

涉及坐标系与参数方程

弦长公式：

\(|AB|\xlongequal[韦达定理]{直角坐标系下}|x_1-x_2|\sqrt{1+k^2}= \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\sqrt{1+k^2}\)

\(|AB|\xlongequal[极角相同]{极坐标系下}|\rho_1-\rho_2|\)

\(|AB|\xlongequal[参数的几何意义]{参数方程下}|t_1-t_2|\)

圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，待整理

涉及概率与统计

常见的古典概型：

积累数学常识

• 以下的数学内容是初次学习时就需要理解并记忆的数学常识，希望引起各位关注 .

✍️ ①“\(a>b\)”是“\(a^2>b^2\)”的既不充分也不必要条件，和函数\(y=x^2\)的单调、奇偶有关；②“\(a>b\)”是“\(a^3>b^3\)”的充要条件，和函数\(y=x^3\)的单调性有关；③“\(a>b\)”是“\(|a|>|b|\)”的既不充分也不必要条件，和函数\(y=|x|\)的单调、奇偶有关；

✍️ ① \(b=\sqrt{ac}\)，是\(a、b、c\)成等比数列的既不充分也不必要条件；② \(b=\sqrt{ac}(ac>0)\)，是\(a、b、c\)成等比数列的充分不必要条件；③ \(b=\pm \sqrt{ac}\)，是\(a、b、c\)成等比数列的必要不充分条件；④ \(b=\pm \sqrt{ac}(ac>0)\)，是\(a、b、c\)成等比数列的充分必要条件；⑤ \(a_{n+1}=2a_n(n\in N^*)\)是\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=2\)(或者数列\(\{a_n\}\)为等比数列)的必要不充分条件。

✍️ 零点存在性定理是函数存在零点的充分不必要条件。零点存在性定理要求函数在\([a，b]\)上连续，满足\(f(a)f(b)<0\)，则在\((a，b)\)内至少存在一个零点\(x_0\)，使得\(f(x_0)=0\)成立。为什么要求必须是连续函数，比如\(y=\cfrac{1}{x}\)，在\([-1，1]\)内满足\(f(-1)f(1)<0\)，但是函数在\([-1，1]\)上没有零点。若函数在\([a，b]\)上连续，不满足\(f(a)f(b)<0\)，却不能说函数在\((a，b)\)内没有零点，此时有可能是不变号零点，比如函数\(y=x^2\)，在\([-1，1]\)上有\(f(-1)f(1)>0\)，但是函数有零点\(x=0\)。

✍️ ① 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，\(f'(x)>0(f'(x)<0)\)是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。说明不必要性，比如函数\(y=x^3\)在R上单调递增，但是却满足\(f'(x)\ge 0\)；② 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，\(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\)是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。③ 比如常函数\(f(x)=c(c为常数)\)，满足\(f'(x)\ge0\)，但是没有单调性，故充分性不成立；若函数\(f(x)\)单调递增，则必有\(f'(x)\ge 0\)，故必要性成立。④ 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，“\(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\)且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的充要条件。说明：在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零，就排除了函数为常函数的可能。^[1]

✍️ ① 在某个区间内，对函数\(f(x)\)而言，\(f'(x_0)=0\)是\(x_0\)为极值点的既不充分也不必要条件。分析：比如函数\(f(x)=x^3\)，在R上单调递增，无极值点，而\(f'(x)=3x^2\)，\(f'(0)=0\)，但是很遗憾\(x=0\)不是极值点，应该是驻点和拐点，故充分性不成立；若\(x_0\)为函数的极值点，也不能推出\(f'(x_0)=0\)，因为函数的极值点有可能就不可导，比如函数\(f(x)=|x|\)，\(x=0\)是其极值点，但是函数在这一点(尖角点)并不可导。② 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，\(f'(x_0)=0\)是\(x_0\)为极值点的必要不充分条件。说明：此时由于函数是可导函数，就排除了函数在\(x_0\)处不可导的情形，故\(x_0\)为函数的极值点，能推出\(f'(x_0)=0\)，必要性成立。

✍️ 【来自数学概念】命题：\(p\):“函数\(f(x)\)是周期函数”是命题\(q\):“函数\(f(x)\)一定有最小正周期”的【必要不充分】条件。

分析：比如常函数\(f(x)=c\)是周期函数，但是它没有最小正周期。

✍️ 【随机事件的概率】“事件\(A\)为不可能事件” 是“事件\(A\)的概率\(P(A)=0\)”的【充分不必要】条件。原因见高频易错题目.

✍️ 【向量表示的三点共线】\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\)是\(A、B、C\)三点共线的【充要条件】。

✍️ 【正余弦定理】"\(a^2+b^2 > c^2\)"是"\(\Delta ABC\)是锐角\(\Delta\)"的必要不充分条件；"\(a^2+b^2 < c^2\)"是"\(\Delta ABC\)是钝角\(\Delta\)"的充分不必要条件。"\(a^2+b^2= c^2\)"是"\(\Delta ABC\)是\(Rt\Delta\)"的充分不必要条件。

✍️ 【二次函数恒成立模型中的充要条件】【数学常识，需要理解并记忆的那种】

• 已知[仿二次]函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a=b=0}\\{c\ge 0}\end{array}\right.\)。

• 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)；

• 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{\Delta \leq 0}\end{array}\right.\)；

• 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恒成立的充要条件的写法有两种形式：

其一是\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m<-\cfrac{b}{2a}<n}\\{f(-\cfrac{b}{2a})\ge 0}\end{array}\right.\)；

其二是\(\Delta \leq 0\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)

• 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)\leq 0}\\{f(n)\leq 0}\end{array}\right.\)；

---

1. 例如，命题\(p\)为真命题，\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，求\(m\)的取值范围是________。
   分析：由题目可知，若\(p\)为真，则\(1-2m>0\)，解得\(m<\cfrac{1}{2}\)(依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调性)；
   辨析：本题目利用函数\(f(x)\)的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。
   导数法：由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，则有
   \(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0，+\infty)\)上恒成立，
   即\(2m-1\leq 0\)，即\(m\leq \cfrac{1}{2}\)，这个结果是错误的，
   原因是缺少验证，当\(m=\cfrac{1}{2}\)时， 函数\(f(x)=0\)为常函数，
   不符合题意，故舍去，即\(m<\cfrac{1}{2}\)。 ↩︎