化简化简更简单
针对数学表达式，我们首先应该想到的就是这个表达式是否是最简的，如果不是怎么才能化为最简形式。
前言
在研究函数，我们一般要求函数的定义域应该优先考虑；那么在研究代数式或函数的其他性质时，则代数式或函数式能否化简就是首要考虑的问题。
定义域问题
求定义域时对函数解析式化简；
分析：令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，
故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，
即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，
则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，
故所求定义域必须同时满足条件
\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；
求值域问题
求值域时对函数解析式化简；
分析：注意到函数的结构特征，我们一般考虑用分式裂项法，分离变量，
将函数转化为\(f(x)=\cfrac{x^2+3x+3}{x+1}=\cfrac{(x^2+3x+2)+1}{x+1}\)
\(=\cfrac{(x+2)(x+1)+1}{x+1}=x+2+\cfrac{1}{x+1}\)
\(=(x+1)+\cfrac{1}{x+1}+1\)
\(\xlongequal[变量代换]{令x+1=t}t+\cfrac{1}{t}+1\)；
对照上述解析先求出函数\(t+\cfrac{1}{t}\)的值域是\((-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)，
则函数\(t+\cfrac{1}{t}+1\)的值域，也就是原函数的值域为\((-\infty，-1]\cup [3，+\infty)\)。
判断奇偶性
求奇偶性时对函数解析式化简；
分析：由定义的运算可知\(2⊗x=\sqrt{2^2-x^2}=\sqrt{4-x^2}\)，\(x⊕2=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|\)，
于是\(f(x)=\cfrac{\sqrt{4-x^2}}{2-|x-2|}\)，仿例2先求得定义域为\([-2，0)\cup(0，2]\)，
故\(f(x)=\cfrac{\sqrt{4-x^2}}{2-(2-x)}=\cfrac{\sqrt{4-x^2}}{x}\)，满足\(f(-x)=-f(x)\)，故函数\(f(x)\)为奇函数。
判断单调性
求单调性时对函数解析式化简；
分析：构造函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，令\(0<x_1<x_2\)，则由单调性定义的等价形式可得，
\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)
由题目，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的，
故题目需要我们比较\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)这三个的大小关系，
只需要比较自变量的大小就可以了；
由于\(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=\sqrt{3} <2\)，\(0 < 0.3^2=0.09 <1\)，\(log_25 > log_24=2\)，
故\(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25)\)，即\(b < a < c\)。
求周期性时对函数解析式化简；
分析：\(f(x+2\pi)=f[(x+\pi)+\pi]=f(x+\pi)+sin(x+\pi)\)
\(=[f(x)+sinx]-sinx=f(x)\)，故\(T=2\pi\)，
则\(f(\cfrac{23\pi}{6})=f(\pi+\cfrac{5\pi}{6})\)
\(=f(\cfrac{5\pi}{6})+sin\cfrac{5\pi}{6}\)
\(=0+\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\)。
求解不等式
求不等式时对代数式化简；
分析：由于注意到\(e^x>0\)，\(x^2+x+1>0\)，故原不等式可以化简为\((x+1)(x-1)<0\)，故解集为\(x\in (-1，1)\)。
解后反思：\(x^2\pm x+1>0\)，\(e^x>0\)，\(2^x>0\)，\(a^x>0(a>0，a\neq 1)\)，\(|x|\geqslant 0\)，\(x^2\geqslant 0\)
分析：对任意的\(x_1\)，\(x_2\in(-\infty，0](x_1\neq x_2)\)，有\((x_1-x_2)[f(x_2)-f(x_1)]<0\)，
即\(x_1\)，\(x_2\in(-\infty，0](x_1\neq x_2)\)，有\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)，
即函数在\((-\infty，0]\)上单调递增，故由偶函数可知，函数在\([0，+\infty)\)上单调递减，
又由于偶函数，则\(f(2)=f(-2)=0\)，做出适合题意的示意图如下，
且不等式\(\cfrac{3f(x)+f(-x)}{5x}<0\)可以转化为\(\cfrac{3f(x)+f(x)}{5x}<0\)
即\(\cfrac{f(x)}{x}<0\)，由图可知，解为\(-2<x\leqslant 0\)或\(x>2\)。
故解集为\((-2，0]\cup (2，+\infty)\)。
- 以下重点说明\(x\in[-1，0]\)时，求证：\(\cfrac{1+x}{1-x}\leq e^{2x}\)
思路一：直接做差，令\(f(x)=\cfrac{1+x}{1-x}- e^{2x}\)，然后用导数求解\(f(x)_{max}\leq 0\)
思路二：变形做差，\(\cfrac{1+x}{1-x}\leq e^{2x}\Longleftrightarrow 1+x\leq e^{2x}(1-x)\)
令\(g(x)=(1+x)- e^{2x}(1-x)\)，然后用导数求解\(g(x)_{max}\leq 0\)
思路三：深度变形做差，\(\cfrac{1+x}{1-x}\leq e^{2x}\Longleftrightarrow 1+x\leq e^{2x}(1-x)\Longleftrightarrow (1+x)e^{-x}\leq (1-x)e^x\)
令\(h(x)=(1+x)e^{-x}-(1-x)e^x\)，然后用导数求解\(h(x)_{max}\leq 0\)
如果你乐意动手求导数，你会发现只有思路三求导最简单，也最好把握，由此我们感悟，作差构造函数时，一般应该先做适当的等价变换，然后再作差构造函数。
求解导数
求导数时对函数解析式化简；
分析：本题目的求导，既可以直接求导，也可以化简后再求导。难易程度一目了然。
法1：\(f'(\theta)=2cos\theta\cdot (-sin\theta)-2sin\theta\cdot (cos\theta)=-2sin2\theta\)；
法2：先化简，\(f(\theta)=cos2\theta\)，再求导，
\(f'(\theta)=-sin2\theta\cdot 2=-2sin2\theta\)。
求导思路1：令\(g(x)=(1+x)\cdot f(x)=(1+x)\cfrac{lnx}{1-x}\)，
则\(g'(x)=\cfrac{lnx}{1-x}+(1+x)\cfrac{\cfrac{1}{x}(1-x)-lnx\cdot (1-x)'}{(1-x)^2}\)
\(=\cfrac{lnx}{1-x}+(1+x)\cfrac{\cfrac{1}{x}(1-x)+lnx}{(1-x)^2}\)
\(=\cfrac{lnx(1-x)+\cfrac{1}{x}(1-x)^2+(1+x)lnx}{(1-x)^2}\)
\(=\cfrac{2lnx-x+\cfrac{1}{x}}{(1-x)^2}\)，
求导思路2：令\(g(x)=lnx\cdot \cfrac{1+x}{1-x}=lnx(1+\cfrac{2}{1-x})=lnx(1-\cfrac{2}{x-1})\)；
则\(g'(x)=[lnx(1-\cfrac{2}{x-1})]'\)\(=\cfrac{1}{x}\cdot (1-\cfrac{2}{x-1})+lnx\cdot (1-\cfrac{2}{x-1})'\)
\(=\cfrac{1}{x}\cdot \cfrac{1+x}{1-x}+lnx\cdot \cfrac{2}{(x-1)^2}\)
\(=\cfrac{(1+x)(1-x)}{x(1-x)^2}+ \cfrac{2xlnx}{x(x-1)^2}\)
\(=\cfrac{2xlnx+1-x^2}{x(x-1)^2}=\cfrac{2lnx-x+\frac{1}{x}}{(x-1)^2}\)
思路一：利用\((\cfrac{u}{v})'=\cfrac{u'v-uv'}{v^2}\)计算
\(g'(x)=\cfrac{[2(1+lnx)+2x]\cdot x-(2xlnx+x^2+3)\cdot 1}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\)；
思路二：先化简再求导后通分，\(g(x)=2lnx+x+\cfrac{3}{x}\)，
则\(g'(x)=\cfrac{2}{x}+1-\cfrac{3}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\)
思路一：令\(u=\cfrac{x-1}{x+1}\)，则\(f'(x)=\cfrac{1}{u}\cdot u'_x\)
\(=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}\)
\(=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{2}{(x+1)^2}=\cfrac{2}{x^2-1}\)
思路二：\(f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}=ln(x-1)-ln(x+1)\)，
则\(f'(x)=\cfrac{1}{x-1}\cdot (x-1)'-\cfrac{1}{x+1}\cdot (x+1)'\)
\(=\cfrac{1}{x-1}-\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{2}{x^2-1}\)
法1：变形运算较难，利用\(f(-x)=\pm f(x)\)来判断；
\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)
\(=ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\)
\(=ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}\)
\(=-ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)
即函数\(f(x)\)为奇函数；
备注：\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\)；\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)；
法2：变形运算容易，利用变形式\(f(-x)\pm f(x)=0\)来判断；
由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
引例2，已知函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，判断其奇偶性；
分析：同上例，可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；
反思：虽然说\(f(-x)=-f(x)\)和\(f(-x)+f(x)=0\)是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；
思路一：运用分式的通分，分式的除法等，\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2}{\frac{1}{e^x}+1}=\cfrac{2}{\frac{e^x+1}{e^x}}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}\)；
思路二：运用分式的性质，\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2\cdot e^x}{(e^{-x}+1)\cdot e^x}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}\)；
求定积分
求积分时对函数解析式化简；
分析：\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (cos\cfrac{x}{2}-sin\cfrac{x}{2})^2\;\; dx\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-sinx)\; dx\)
\(\displaystyle=(x+cosx)\bigg|_{0}^{\cfrac{\pi}{2}}\)
\(=\cfrac{\pi}{2}-1\)。
涉及函数和方程问题的化简
【法1】：分离常数法，本题目就不适宜使用此法；
由\(f(x)=0\)得到\(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x\)，分离得到\(a=\cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x)\)，
你应该能感觉到函数\(h(x)\)若要用导数分析其单调性，那会是相当的难，故分离参数的思路一般在这个题目中，就自然舍弃了。
【法2】：由题目可知方程\(f(x)=0\)仅有一解，即\(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x\)仅有一解，
即函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)与函数\(y=-x^2+2x\)的图像仅有一个交点。参考图像
手工怎么作图呢，函数\(y=-x^2+2x\)的图像大家应该会的，故重点说\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)的图像。
令函数\(g(x)=y=e^x+\cfrac{1}{e^x}=e^x+e^{-x}\)，则是偶函数，\(g(0)=2\)，
当\(x\ge 0\)时，\(g'(x)=e^x-e^{-x}\)，\(g'(x)\)单调递增，
故\(g'(x)\ge g'(0)=0\)，则函数\(g(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，又由偶函数可知，在\((-\infty，0]\)上单调递减，
这样我们就做出了函数\(g(x)=e^x+\cfrac{1}{e^x}\)的图像，然后将其向右平移一个单位，得到\(y=e^{x-1}+e^{-x+1}\)的图像，
前边的系数\(a\)的作用有两个，其一控制张角大小，其二控制函数最低点的位置，
就像函数\(y=a|x|\)中的\(a\)的作用一样的，所以我们就能用手工做出函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)的图像，
要使得函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)与函数\(y=-x^2+2x\)的图像仅有一个交点，
就需要函数\(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)的最小值\(a(e^{1-1}+e^{-1+1})=2a\)和函数\(y=-x^2+2x\)的最大值\(-1^2+2\times1=1\)相等，
故\(2a=1\)，解得\(a=\cfrac{1}{2}\)。故选\(C\).
【法3】：构造函数法+函数性质法；
函数\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})=(x-1)^2+a[e^{x-1}+e^{-(x-1)}]-1\)，
令\(t=x-1\)，则\(g(t)=f(x-1)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1\)，
由于\(g(-t)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1=g(t)\)，故\(g(t)\)为偶函数，
由于函数\(f(x)\)有唯一零点，则函数\(g(t)\)也有唯一零点，
又函数\(g(t)\)是偶函数，即函数\(g(t)\)与\(t\)轴仅有一个交点，则\(g(0)=0\)，
代入得到\(2a-1=0\)，即\(a=\cfrac{1}{2}\)；故选\(C\).
【法4】：函数\(f(x)=0\Leftrightarrow\) \(a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})=-x^2+2x\)
\(e^{x-1}+e^{-(x-1)}\ge 2\sqrt{e^{x-1}\cdot e^{-(x-1)}}=2\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号；
\(-x^2+2x=-(x-1)^2+1\leq 1\)；
若\(a>0\)时，\(a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})\ge 2a\)，
要使\(f(x)\)仅有一个零点，则必有\(2a=1\)，解得\(a=\cfrac{1}{2}\)；
若\(a<0\)，则函数\(f(x)\)的零点不唯一，
综上，\(a=\cfrac{1}{2}\)；故选\(C\).
【法5】由\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)，
得到\(f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)+a(e^{2-x-1}+e^{-(2-x)+1})=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)，
所以\(f(2-x)=f(x)\)，故\(x=1\)是函数\(f(x)\)图像的对称轴。
由题意可知，函数\(f(x)\)有唯一的零点，
故只能是\(x=1\)，
即\(f(1)=1^2-2\times1+a(e^{1-1}+e^{-1+1})=0\)，
解得\(a=\cfrac{1}{2}\)，故选\(C\).
【法6】我们一般这样转化，由函数\(f(x)\)有唯一的零点，
得到方程\(x^2-2x=-a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一解，注意到方程的右端，
我们可以和对勾函数做以联系，令\(x-1=t\)，则\(x=t+1\)，
故原方程就转化为\((t+1)^2-2(t+1)=-a(e^t+e^{-t})\)，为了便于做出图像，
还需要再代换，令\(e^t=x\)，则\(x>0\)且\(t=lnx\)，
这样方程就又转化为\(ln^2x-1=-a(x+\cfrac{1}{x})\)，
在同一个坐标系中，分别做出函数\(y=ln^2x-1\)和\(y=-a(x+\cfrac{1}{x})\)的图像，
由图像可知对勾函数前面的系数必须满足\(-a=-\cfrac{1}{2}\)，
即\(a=\cfrac{1}{2}\)，故选\(C\).
函数解析式
涉及解析式的化简
分析：由给定的解析式可知，题目中隐含条件\(x>0\)，
那么在\(x>0\)的前提下，可以化简\(f(\cfrac{2}{x+x})=log_2\sqrt{x\cdot x}\)，
即\(f(\cfrac{1}{x})=log_2 x\)，代换得到所求的解析式为\(f(x)=-log_2x(x>0)\).
