高中数学中高频变形技巧收录

前言

在高中数学的学习中，有一些变形的技巧非常常见，需要我们高度的关注和学习，现加以整理收录如下：

代数方面

⒈三角变形，如逆用二倍角的正余弦公式和辅助角公式，整体思想等

⒉化为部分分式法（配凑法、代换法），应用变量集中思想，

⒊分子分母同除以，在分子分母位置构造\(ax+\cfrac{b}{x}（a，b>0 ）\)，这一变形经常和均值不等式加以联系。

⒋乘常数同时除常数（或叫常数代换），均值不等式

⒌关于\(\sin\theta、\cos\theta\)的一次齐次式，二次齐次式的变形处理策略

⒍常见的图像变换\(y=\cfrac{1}{x}\)，\(y=x+\cfrac{k}{x}\)，\(y=x-\cfrac{k}{x}\)，\(y=|x|\)，\(y=[x]，y=[x-1]\)

⒎三角中给值求值的变形技巧，代数式的变换，角的变换等

⒏引入参数的技巧，\(a:b:c=2:3:4\)，\(\tan\theta=\cfrac{3}{4}\)，则\(\sin\theta=3k，\cos\theta=4k，（k=\ne 0）\)

⒐裂项法常用变形公式：\(\cfrac{1}{n(n+1)}=\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}\)；\(\hspace{2cm}\) \(\cfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)；

\(\cfrac{1}{n(n+k)}=\cfrac{1}{k}(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})\)； \(\hspace{2cm}\) \(\cfrac{1}{4n^2-1}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{2n-1}-\cfrac{1}{2n+1})\)；

\(\cfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n(n+1)}-\cfrac{1}{(n+1)(n+2)})\)；\(\hspace{2cm}\) \(log_a(1+\cfrac{1}{n})=log_a(n+1)-log_an\)

放缩法常用变形公式：\(\cfrac{1}{(n+1)(n+1)}<\cfrac{1}{n(n+1)}<\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{1}{n(n-1)}<\cfrac{1}{(n-1)(n-1)}\)

⒑分子有理化、分母有理化

⒒抽象函数的性质的刻画表达，如\(f(x+2)=f(x-2)\iff f(x+4)=f(x)\)；函数\(f(x)\)的对称轴是\(x=2\) \(\iff f(2-x)=f(x+2) \iff f(x+4)=f(-x)\)

⒓⒔⒕⒖⒗⒘⒙⒚⒛

几何方面

⒈弦长公式

\(|AB|\xlongequal[韦达定理]{直角坐标系下}|x_1-x_2|\sqrt{1+k^2}= \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\sqrt{1+k^2}\xlongequal[极角相同]{极坐标系下}|\rho_1-\rho_2|\)

抛物线的焦点弦长公式：\(|AB|=\cfrac{2p}{sin^2\alpha}\)

⒉解直线和圆、椭圆的方程组，韦达定理

⒊向量 由题目可知\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，如图即\(2\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，即可知点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。

函数

⒈导数的学习和考查中的高频函数，比如\(y=xe^x，y=\cfrac{e^x}{x}，y=xlnx，y=\cfrac{lnx}{x}\)