设元的技巧

前言

高中数学的学习中，少不了设元。恰当的设元可以大幅度的降低思维和运算上的难度。

比例设元

比如已知\(a:b:c\) \(=\) \(2:3:4\)，则设\(a=2k\)，\(b=3k\)，\(c=4k\)，且\(k\neq 0\)；

已知\(\triangle ABC\)中的三边之比为\(a:b:c=2:3:4\)，则设\(a=2k\)，\(b=3k\)，\(c=4k\)，且\(k>0\)；

已知椭圆中的\(\cfrac{a}{b}=2\)，则设\(a=2k\)，\(b=k\)，则\(c=\sqrt{3}k\)，且\(k>0\)；

已知\(\tan \alpha=2\)，则可设\(\sin\alpha=2k\)，\(\cos\alpha=k\)，且\(k\neq 0\)，

故可知\((2k)^2+k^2=1\)，得到\(k=\pm \cfrac{\sqrt{5}}{5}\)；即可得到\(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)的值；

数列设元

①. 当题目已知三个数成等差数列时，我们常常依次设三个数为\(a-d\)，\(a\)，\(a+d\)，这样设元的优越性在于其和为\(3a\)，如果题目恰好已知了其和的值，则中间的数立马可知，这样变量就剩下一个\(d\)了；

当已知五个数成等差数列时，常设为\(a-2d\)，\(a-d\)，\(a\)，\(a+d\)，\(a+2d\)；

②. 当题目已知三个数成等比数列时，我们常常依次设三个数为\(\cfrac{a}{q}\)，\(a\)，\(aq\)，这样设元的优越性在于其积为\(a^3\)，如果题目恰好已知了其积的值，则中间的数立马可知，这样变量就剩下一个\(q\)了；

当已知五个数成等差数列时，常设为\(\cfrac{a}{q^2}\)，\(\cfrac{a}{q}\)，\(a\)，\(aq\)，\(aq^2\)；

三角函数设元

【来自知乎问答】已知：\(2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta\)\(=\)\(3\)，求 \(\cos(\alpha+\beta)\) 的最小值。

法1️⃣：解答者知友 freeMaths，构造辅助等式，设 \(2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\)

将两式平方后相加，得到 \((2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta)^2\)\(+\)\((2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta)^2\)\(=\)\(3^2\)\(+\)\(m^2\)

整理，得到：\(4(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\)\(+\)\(3(\cos^2\beta+\sin^2\beta)\)\(+\)\(4\sqrt{3}(\cos\alpha\cos\beta\)\(-\)\(sin\alpha\sin\beta)\)\(=\)\(9\)\(+\)\(m^2\)

即，\(7\)\(+\)\(4\sqrt{3}\cos(\alpha+\beta)\)\(=\)\(9\)\(+\)\(m^2\)

也即，\(\cos(\alpha+\beta)\)\(=\)\(\cfrac{2 + m^2}{4\sqrt{3}}\)，因为 \(m^2\geqslant 0\)，

所以\(\cos(\alpha+\beta)\)\(\ge\)\(\cfrac{2}{4\sqrt{3}}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2\sqrt{3}}\)\(=\) \(\cfrac{\sqrt{3}}{6}\)

故 \(\cos(\alpha+\beta)\) 的最小值为 \(\cfrac{\sqrt{3}}{6}\)。

① 本题目在构造了 \(2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\) 两个式子同时平方再相加后，利用三角函数的平方关系，能巧妙的消除掉单独的项 \(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin\beta\)、\(\cos\beta\)，剩下的自然就能朝 \(\cos(\alpha+\beta)\) 变形，且等式的另一端只含有一个参数的平方项，自然就能利用二次函数来求解最小值；
② 题目开篇必须有意识的构造 \(2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\)，而不能构造 \(2\sin\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\)，否则后边的变形就出现了 \(\cos(\alpha-\beta)\)，而不是题目要的 \(\cos(\alpha+\beta)\)；
③同样的思路可以处理类似题目如，已知：\(2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=\)\(3\)，求 \(\sin(\alpha+\beta)\) 的最小值。提示：构造\(2\sin\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta\)\(=\)\(m\)；
④同样的思路可以处理类似题目如，已知：\(2\cos\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=\)\(3\)，求 \(\sin(\alpha-\beta)\) 的最小值。提示：构造\(2\sin\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta\)\(=\)\(m\)；
⑤这种构造设元的思路很特别、很大胆，一次引入了三个未知量，到最后就剩下一个未知量 \(m\) 了，大多人的思路到此往往就因为难就怕了放弃了。

动点设元

如果直线上或者线段上有一个动点，则常常如下设置并引入动点，假设棱\(BC\)上存在点\(F\)，使得\(MF//PC\)，设\(\overrightarrow{BF}\)\(=\)\(\lambda\overrightarrow{BC}\)， 配套题目如下：

【北京人大附中高二阶段检测第20题改编】在四棱锥\(P-ABCD\)中，平面\(ABCD\perp\)平面\(PCD\)，底面\(ABCD\)为梯形， \(AB//CD\)，\(AD\perp PC\)，且\(AB=1\)，\(AD=DC=DP=2\)，\(\angle PDC=120^{\circ}\)，\(M\)是棱\(PA\)的中点.

(2). 求证：对于棱\(BC\)上任意一点\(F\)，\(MF\)与\(PC\)都不平行；

【法3】：[利用空间向量，从数的角度思考]因为\(AD\perp\) 平面\(PCD\)，所以\(AD\perp CD\)，又由于\(DH\perp CD\)，\(DH\perp AD\)，

以\(D\)为原点，\(DA\)，\(DC\)，\(DH\)所在直线分别为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴，建立空间直角坐标系，

所以 \(D(0,0,0)\)，\(A(2,0,0)\)，\(P(0,-1, \sqrt{3})\)，\(C(0,2,0)\)，\(B(2,1,0)\)，

假设棱\(BC\)上存在点\(F\)，使得\(MF//PC\)，设\(\overrightarrow{BF}=\lambda\overrightarrow{BC}\)注意这一典型的设动点的技巧；我们一般设动点后，立刻想到的是设其坐标\((x,y,z)\)，但是这一技巧将动点\(F\)依托于线段\(BC\)，此时若利用向量，只需要设一个元\(\lambda\)即可，一下子就让变量的数量减少，我们的思维的量和思维难度自然也就降下来了。\(\quad\)，

则\(\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BF}=(1,\cfrac{3}{2},-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+\lambda(-2,1,0)=(-2\lambda+1,\lambda+\cfrac{3}{2},-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\)，

由于\(MF//PC\)，所以\(\overrightarrow{MF}=\mu\overrightarrow{PC}=\mu(0,3,-\sqrt{3})\)，

故必须满足方程组\(\left\{\begin{array}{l}{-2\lambda+1=0}\\{\lambda+\cfrac{3}{2}=3\mu}\\{-\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\mu}\end{array}\right.\)，

此方程组无解，所以假设错误，问题得证；

抛物线设元

对抛物线\(y^2=8x\)而言，如果需要取其上一个动点，坐标设为\((2t^2，4t)\)，就比设为\((x，y)\)或者\((x，\pm 2\sqrt{2}x)\)要好计算的多，且不容易出错；

直线设元

待定系数法的设法技巧：当直线经过点\((0,1)\)时，我们常常设其解析式为\(y=kx+1\)，当直线经过点\((1,0)\)时，我们常常设其解析式为\(x=ky+1\)，

整体设元

一般设元，我们都是针对单项式未知数来设元，个别题目中可能需要针对多项式未知数来设元，这样，求解的难度会大幅度降低。

引例，如函数 \(g(x)\) \(=\) \(4^x\) \(+4^{-x}\) \(-m\cdot\)\((2^x\)\(+\)\(2^{-x})\)\(-4\)，若设 \(2^x=t\)，那么没有将问题简单化，且思维的层次也比较低。

但是若令 \(2^x\)\(+2^{-x}\)\(=t\)\((t\geq 2)\)，则 \(4^x\)\(+4^{-x}\)\(=\)\((2^x+2^{-x})^2\)\(-2\)\(=t^2\)\(-2\)，

则复杂的函数立马就简单化为二次函数了， \(g(x)\)\(=\)\(l(t)\)\(=t^2\)\(-2-mt\)\(-4\)\(=t^2\)\(-mt\)\(-6\) . 更多