因式分解 | 高中阶段

前言

把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。比如\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(2\)\(=\)\((\)\(x\)\(-\)\(1\)\()\)\((\)\(x\)\(-\)\(2\)\()\)。

廓清认知

• 高中阶段使用到因式分解的数学内容有解不等式(尤其是解含参不等式)、导数、解三角形或判断三角形形状等；

• 因式分解的方法主要有：提取公因式法；公式法；拆添项法；十字相乘法；分组分解法；多项式除法；待定系数法；

• 因式分解的结果可能不唯一，比如对 \(4x^4-13x^2+1\) 的两种分解形式：

①：\(4x^4-13x^2+1=(4x^4+4x^2+1)-17x^2=(2x^2+1)^2-(\sqrt{17}x)^2=(2x^2+\sqrt{17}x+1)(2x^2-\sqrt{17}x+1)\)

②：\(4x^4-13x^2+1=(4x^4-4x^2+1)-9x^2=(2x^2-1)^2-(3x)^2=(2x^2+3x-1)(2x^2-3x-1)\)

如果我们限定分解后的系数为有理数，那么我们常常会采用第二种分解形式。

常用方法

✍️ 提取公因式法；

引例，已知\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)．求\(f'(x)\)；

分析：\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)\)\(=e^x(x-1)+2a(x-1)\)\(=(x-1)(e^x+2a)\)，

引例，涉及提取公因式法的常用变形

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3\cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}\cdot 2=2^{-n}$；

$2^n\cdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2\cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}\cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}\cdot 2^n=2^{2n+1};$

引例，\((7+\sqrt{6})\cdot(7\sqrt{2}-2\sqrt{3})=(7+\sqrt{6})\cdot\sqrt{2}\cdot(7-\sqrt{6})=\sqrt{2}\cdot(7+\sqrt{6})\cdot(7-\sqrt{6})=43\sqrt{2}\)

✍️ 拆添项法；^[1]

已知\(3t^3-7t^2+4=0\)，求\(t\)的值；

分析：先将方程拆项变形为\(3t^3-3t^2-4t^2+4=0\)，然后分组分解得到，\((3t^3-3t^2)-(4t^2-4)=0\)，

\(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)\) \(=(t-1)(3t^2-4t-4)\) \(=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\)，

✍️ 公式法；

\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)；\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)；

✍️ 十字相乘法，使用最为广泛。实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的，熟练掌握对你的数学学习会有帮助的。

①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；

②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；

④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；

⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；

⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；

⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；

⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；

⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；

⑩\(f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}\)；

\(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，

\(g(x)=[f(x)]^2-2m\cdot f(x)+m^2-1=0\)，即\([f(x)-(m-1)][f(x)-(m+1)]=0\)

⑾\(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\leq0\)，即\(a-2\leq x\leq a+2\) ；

\(a^2x^2+ax-2=0\)，即\((ax+2)(ax-1)=0\)；

✍️ 分组分解法，也能使用于高次式的分解，难点是不容易发现分组的思路。

比如\(3x^3-7x^2+4=0\)，可以分解为

\(3x^3-3x^2-4x^2+4\)\(=\)\(3x^2(x-1)-4(x^2-1)\)\(=\)\((x-1)(3x^2-4x-4)\)\(=\)\((x-1)(x-2)(3x+2)\)；

那么，上式的分解中怎么会想到将\(-7x^2\)分解为\(-3x^2-4x^2\)的呢？

✍️ 试商法，原理：若\(f(x)=0\)，则\(f(x)\)中至少含有一个因子\(x\)，即\(f(x)=x\cdot g(x)\)或\(f(x)=x\cdot a\)(\(a\)为常数)

对于上式\(3x^3-7x^2+4=0\)，先尝试令\(x=0\)，不满足方程，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中不能分解出因式\(x\)；

再尝试令\(x=1\)，发现方程成立，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中应该能分解出因式\(x-1\)，这样另外一个因式的最高次必然会降低为\(2\)次；

如果还不行再尝试\(x=-1\)，依次类推，\(x=0\)，\(x=\pm 1\)，\(x=\pm 2\)，等等如此；

那么用试商法得到其中一个因式后，如何得到剩余的因式呢，这可以用多项式除法来解释说明。

✍️ 多项式除法，多用于三次式或高次式的分解

解方程，\(x_0^3-3x_0^2+4=0\)；

分析：先用试商法，令\(x_0=0\)，如果上述方程成立，说明方程能分解出因子\(x_0\)，本题目中显然不成立；

再令\(x_0=1\),上述方程不成立，说明方程不能分解出因子\(x_0-1\)；再令\(x_0=-1\),上述方程成立，

说明方程能分解出因子\(x_0+1\)；这样\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0+1)(x_0^2+bx_0+c)(b，c是常数，待定)\)，这样做的目的是为了降次；

以下用多项式除法探求另一个因式，多项式除法如下图所示；

看完这个除法，你可能会有这样的想法：其一，多项式的除法和数字的除法本质做法是一样的；其二，这个做法还是比较麻烦；

能不能改进一下呢，回答是肯定的。

✍️ 组合使用法

我们可以用试商法先确定一个因式，从而能确定分组分解的方向，即试商法和分组分解法组合使用。 接上例说明，由于我们知道必定有一个因式为\((x_0+1)\)，故和\(x_0^3\)分组的只能是\(1\)，从而想到将\(4\)拆分为\(1+3\)，然后将\(-3x_0^2\)和\(3\)分组，如下所示：

如\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3x_0^2+3=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\) \(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\) \(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)=(x_0+1)(x_0-2)^2\)；

典例剖析

【2020 \(\cdot\) 天津模拟】已知在正项数列 \(\{a_{n}\}\) 中， \(a_{1}=1\) ， \((n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0\)，\(n\in{N}_{+}\)， 则它的通项公式为【\(\qquad\)】

$A.a_{n}=\cfrac{1}{n+1}$ $B.a_{n}=\cfrac{2}{n+1}$ $C.a_{n}=\cfrac{n+1}{2}$ $D.a_{n}=n$

解析: 由 \((n+2)a_{n+1}^{2}-(n+1)a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}=0\)，两边同除以 \(a_n^2\)，整理得到，

得 \((n+2)(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}})^{2}+\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)=0\)，

令 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=t\)， 因式分解得到，\(\large{_{\;\;\;1}^{n+2}{\times}_{\;\;\;\;1}^{-(n+1)}}\)

\((\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1)\bigg[(n+2)\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}-(n+1)\bigg]=0\)，

因为 \(\{a_{n}\}\) 是正项数列，所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}+1>0\)，

所以 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{n+1}{n+2}\)，

则 \(a_{n}=\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\times\cdots\times\cfrac{a_{2}}{a_{1}}\times a_{1}\)

\(=\cfrac{n}{n+1}\times\cfrac{n-1}{n}\times\cdots\times\cfrac{2}{3}\times1\)

\(=\cfrac{2}{n+1}\). 故选 \(B\).

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】【难点题目，综合程度高，对学生的运算能力要求很高】已知正项等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(7S_6=3S_9\)，\(a_4=2\)，则数列\(\{a_{3n-2}+log_2a_n\}\)的前\(10\)项的和\(T_{10}\)=____________。

分析：先由条件容易判定，$q\neq 1 $，由\(7S_6=3S_9\)，得到\(7\times \cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3\times \cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q}\)

转化得到\(3q^9-7q^6+4=0\)，令\(q^3=t\)，变形为\(3t^3-7t^2+4=0\)，

即\(3t^3-3t^2-4t^2+4=0\)，即\(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=\)\((t-1)(3t^2-4t-4)\)\(=(t-1)(t-2)(3t+2)=0\)，

解得\(t=1\)(舍去)，\(t=-\cfrac{2}{3}\)(舍去)，\(t=2\)；

即\(t=q^3=2\)，则\(a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2q^{n-4}\)，

则\(a_{3n-2}=2\cdot q^{3n-6}=2\cdot (q^3)^{n-2}=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}\)；

\(log_2a_n=log_22\cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_2q^3\)

\(=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_22=1+\cfrac{n-4}{3}\)；

则\(T_{10}=(2^0+2^1+\cdots+2^9)+[(1+\cfrac{-3}{3})+(1+\cfrac{-2}{3})+\cdots+(1+\cfrac{6}{3})\)

\(=\cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038\);

解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。

【初中教师数学能力测试题目】已知关于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)的根都是整数，则\(k\)的个数为【\(\qquad\)】

$A.5$ $B.4$ $C.3$ $D.2$

分析：关于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)，

对其因式分解，可以分解为\([(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0\)，

则方程的两个根为\(x_1=\cfrac{9}{6-k}\)，\(x_2=\cfrac{6}{9-k}\)，

由于方程的根都是整数，则\(6-k\)和\(9-k\)是\(6\)和\(9\)的公约数[含正负]，

故\(6-k\)和\(9-k\)的值可能分别为\(\pm 1\)和\(\pm 3\)，以下检验，

当\(\cfrac{9}{6-k}=1\)，则\(k=-3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9+3}=\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故舍去；

当\(\cfrac{9}{6-k}=-1\)，则\(k=15\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-15}=-1\in Z\)，满足题意；

当\(\cfrac{9}{6-k}=3\)，则\(k=3\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-3}=1\in Z\)，满足题意；

当\(\cfrac{9}{6-k}=-3\)，则\(k=9\)，此时\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-9}\)无意义，舍去；

故满足题意的\(k=-1\)或\(k=3\)，故选\(D\)。

对应练习

分组分解：\(x^3-x+2>2x^2\)

提示：\((x-2)(x+1)(x-1)>0\)

【来自知乎的一个问题】如何分解因式 \(x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

解法1️⃣：添减项 + 公式法 + 提取公因式法

$x^5+x+1 \(=\) \(x^5-x^2+x^2+x+1\) \(=\) \(x^2(x^3-1)+x^2+x+1\)

\(=\) \(x^2\cdot(x-1)\cdot(x^2+x+1)+x^2+x+1\)

\(=\) \((x^3-x^2)\cdot(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\) \(=\) \((x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

解法2️⃣：先乘以 \((x-1)\)，然后 再除以 \((x-1)\);

由于 \((x-1)(x^5+x+1)\) \(=\) \(x^6-x^5+x^2-1\) \(=\) \((x^6-1)-(x^5-x^2)\)

\(=\) \((x^3+1)(x^3-1)-x^2(x^3-1)\) \(=\) \((x^3-1)(x^3-x^2+1)\)

即 \((x-1)(x^5+x+1)\) \(=\) \((x^3-1)(x^3-x^2+1)\)

\(=\) \((x-1)(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)，

两边同除以 \((x-1)\);

得到，\(x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

解法3️⃣：复数单位根法，

我们知道，方程 \(x^3-1=0\) 在实数范围内只有一个实数根\(x=1\)，但是若在复数范围内[在复数范围内， \(n\) 次方程应该有 \(n\) 个复数根]应该有 \(3\) 个复数根，其一为实数根 \(x_1=1\)，另外两个为复数根 \(x_{2,3}=-\cfrac{1}{2}\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}i\)，也就是说，由于 \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\)，故 \(x_1=1\) 是方程 \(x-1=0\) 的根，而 \(x_{2,3}\) 是方程 \(x^2+x+1=0\) 的两个复数根。这三个根在复平面内的夹角为 \(120^{\circ}\)，这些知识对学习现行教材的学生而言，是陌生的，故提前介绍一下。

令 \(\omega\) 为 \(x^3=1\) 的一个复数单位根，那么显然 \(\omega^2+\omega+1=0\) 而且 \(\omega\neq 1\)。

那么把 \(x=\omega\) 代入原式，得到 \(\omega^5+\omega+1=\omega^3\cdot\omega^2+\omega+1=\omega^2+\omega+1=0\)，

这说明 \(x=\omega\) 是 \(x^5+x+1=0\) 的一个解，说明 \(x^2+x+1\) 是 \(x^5+x+1\) 的一个因式。

即，应该有 \(x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3+ax^2+bx+1)\)，

为了求解另一个因式，可以使用多项式除法，具体过程略。

解法4️⃣：待定系数法，注意到首项的系数是 1 ，故

令 \(x^5+x+1=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)\)，

打开整理，得到

\(x^5+x+1=x^5+(a+c)x^4+(d+b+ac)x^3+(e+ad+bc)x^2+(ae+bd)x+be\)

比较各系数，得到方程组 \(\left\{\begin{array}{l}a+c=0\\d+b+ac=0\\e+ad+bc=0\\ae+bd=1\\be=1\end{array}\right.\)，用消元法解得 \(\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=1\\c=-1\\d=0\\e=1\end{array}\right.\)

即 \(x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

【解后反思】这个多元方程组太难求解了，此时可以利用数论知识+多项式相乘知识，将上述的因式的系数简化如下，容易理解 \(x^2\) 和 \(x^3\) 这两项的系数都是 1，那么容易知道 \(b=e=1\)，

烦烦烦，待后整理。

解法5️⃣：等比数列法

由于 \(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=\cfrac{x^6-1}{x-1}\)，

故 \(x^5+x+1=\cfrac{x^6-1}{x-1}-(x^4+x^3+x^2)\)，

即 \(x^5+x+1=\cfrac{(x^3-1)(x^3+1)}{x-1}-x^2(x^2+x+1)\)

即 \(x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3+1)-x^2(x^2+x+1)\)

即 \(x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

分组分解：\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2\)

提示： 用试商法求得，当\(x=2\)时，\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2=0\)，故其必能分解出\(x-2\)，由上述的试商能指导分解方向，

\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2=\cfrac{1}{2}x^3-4-x+2\)

\(=\cfrac{1}{2}(x^3-8)-(x-2)=\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)-(x-2)\)

\(=(x-2)[\cfrac{1}{2}(x^2+2x+4)-1]=(x-2)(\cfrac{1}{2}x^2+x+1)\)

【因式分解案例】令 \(g(x)=\cfrac{e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1}{x^2}\)，求导并加以整理变形；

解析： \(g'(x)=\cfrac{(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)'\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{(x^2)^2}\)

\(=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{x^4}\)

\(=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2}{x^3}\)

\(=\cfrac{xe^x-\frac{3}{2}x^3-x-2e^x+x^3+2x+2}{x^3}\)

\(=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}\)

到此，我们的思维大多就停滞了，难点在分子的三次多项式 \(-\cfrac{1}{2}x^3+x+2\) 的分解上，

此时，用试商法得到，\(x=2\)为其一个根，故分组分解如下，

\(-\cfrac{1}{2}x^3+x+2=-\cfrac{1}{2}x^3+4+x-2\)

\(=-\cfrac{1}{2}(x^3-2^3)+(x-2)=-\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)+(x-2)\)

\(=(x-2)(-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)\)，

故接上得到，

\(g'(x)=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}=\cfrac{(x-2)(e^x-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3}\)

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1. 拆添项法，在均值不等式素材中也有使用，具体参阅 ↩︎