导数法判断函数的单调性的策略
总结导数法判断函数的单调性的策略，第一阶从数的角度计算，第二阶从形的角度判断，第三阶从二阶导的角度判断；
前言
关于用导数法判断函数的单调性问题，教材上所举例子是通过解不等式[从数的角度]求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，所以学生就依葫芦画瓢，碰到这类问题都这样做，但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解，思路自然会受阻而放弃，其实只需要老师做这样的引导：
思考方法和途径：先求定义域，解得\(f'(x)\)，其一，令\(f'(x)>0\)或\(f'(x)<0\)，看能不能从数的角度突破，如果可以就通过解不等式得到单调区间；其二，如果\(f'(x)>0\)不能解再看是否可以考虑从形的角度入手分析，做出导函数的图像或其部分图像，从而得到单调区间；其三，如果以上都行不通，不妨考虑通过求二阶导来判断一阶导的正负，从而知道单调性。
储备待用
以下的知识点在用导数法判断单调性时很可能会用到，请大家逐个复习回顾。
①常见的初等函数的动态图像，需要理解掌握。
- \(f(x)=e^x+a\)；\(f(x)=(x+1)(x+m)\)；\(f(x)=ln(x+a)\)；\(f(x)=x^2+a\)；\(g(x)=a\cdot x^2\)；\(h(x)=a\cdot e^x\)；
如果你会使用desmos软件，可以在下面试一试含参函数的变化情况。
②用导函数的部分图像判断导函数的正负的原理解释：
说明：假定某函数的导函数为\(f'(x)=e^x(x-1)(x-2)\)，则其图像和\(y=(x-1)(x-2)\)的图像在解释单调性上是一样的，故我们可以借助更简单和更熟悉的二次函数\(y=(x-1)(x-2)\)的图像来解决问题。
③求导法则和常用求导公式，复合函数的求导法则；
④用图读图能力；
⑤整体部分理论；
⑥分类讨论的技巧；先简单后复杂；
- 引申阅读：用导函数的图像判断原函数的单调性；
原始图像
用导函数的完整图像判断原函数的单调性
(1).求\(a，b\)的值。
分析：由于\(f'(x)=6x^2+2ax+b\)，且对称轴为\(x=-\frac{1}{2}\)，则有\(-\frac{a}{6}=-\frac{1}{2}\)，则\(a=3\)，
又由于\(f'(1)=0\)，则\(6+2a+b=0\)，解得\(b=-12\)，所以\(a=3，b=-12\)。
即函数\(f(x)=2x^3+3x^2-12x+1\)，
(2).判断函数的单调性，并求函数的极值。
分析：因为\(f(x)=2x^3+3x^2-12x+1\)，\(f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)\)
常规的解法这样写道：
令\(f'(x)>0\)，即\(x^2+x-2>0\)，解得\(x>1\)或\(x<-2\)，
令\(f'(x) <0\)，即\(x^2+x-2 <0\)，解得$ -2<x<1$，
有了辅助图像后，我们在演草纸上画出导函数的示意图，直接这些写：
当\(x< -2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(-2<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；
当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；然后做总结：
所以函数\(f(x)\)在\((-2，1)\)上单调递减，在\((-\infty，-2)\)和\((1，+\infty)\)上单调递增，
当\(x=-2\)时，\(f(x)\)取得极大值，为\(f(-2)=21\)，
当\(x=1\)时，\(f(x)\)取得极小值，为\(f(1)=-6\)。
分子图像
排除分母，只用导函数的分子图像判断原函数的单调性
分析：函数的定义域为\((0，+\infty)\)，
\(f'(x)=2x+\cfrac{2m}{x}-(m+4)=\cfrac{2x^2-(m+4)x+2m}{x}=\cfrac{(x-2)(2x-m)}{x}\)，
令\(f'(x)=0\)，得到\(x=2\)或\(x=\cfrac{m}{2}>0\)，分类讨论如下：
当\(0<\cfrac{m}{2}<2\)时，即\(0<m<4\)时， \(x\in (0，\cfrac{m}{2})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
\(x\in (\cfrac{m}{2}，2)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，\(x\in (2，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
当\(\cfrac{m}{2}=2\)时，即\(m=4\)时，此时\(f'(x)\ge 0\)恒成立，
当且仅当\(x=2\)时取得等号，故\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，
当\(\cfrac{m}{2}>2\)时，即\(m>4\)时， \(x\in (0，2)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
\(x\in (2，\cfrac{m}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减， \(x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
综上所述，
当\(0<m<4\)时， \(x\in (0，\cfrac{m}{2})\)时，\(f(x)\)单调递增，\(x\in (\cfrac{m}{2}，2)\)时，\(f(x)\)单调递减，\(x\in (2，+\infty)\)时，\(f(x)\)单调递增，
当\(m=4\)时，\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，
当\(m>4\)时， \(x\in (0，2)\)时，\(f(x)\)单调递增， \(x\in (2，\cfrac{m}{2})\)时，\(f(x)\)单调递减， \(x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)\)时，\(f(x)\)单调递增，
注意：①因式的正确分解；②分类标准的确定；③快速读图能力；
因子图像
排除乘积中的正因子，只用导函数中的部分因子函数图像判断原函数的单调性
分析：\(g(x)=e^x[x^2+(m+2)x+1]\)，定义域为\(R\)，
则\(g'(x)=e^x\cdot [x^2+(m+2)x+1]+e^x\cdot (2x+m+2)\)
\(=e^x[x^2+(m+4)x+m+3]=e^x(x+1)[x+(m+3)]\)
令\(g'(x)=0\)，得到\(x=-1\)或\(x=-(m+3)\)，由于\(e^x>0\)恒成立，
故借助开口向上的二次函数\(y=(x+1)[x+(m+3)]\)的图像分类讨论求解如下：
①当\(-(m+3)<-1\)时，即\(m>-2\)时，
\(x\in (-\infty，-m-3)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，
\(x\in (-m-3，-1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，
\(x\in (-1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，
②当\(-(m+3)=-1\)时，即\(m=-2\)时，\(g'(x)\ge 0\)恒成立，
当且仅当\(x=-1\)时取得等号，故\(g(x)\)在R上单调递增；
③当\(-(m+3)>-1\)时，即\(m<-2\)时，
\(x\in (-\infty，-1)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，
\(x\in (-1，-m-3)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，
\(x\in (-m-3，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，
综上所述：
当\(m<-2\)时，函数\(g(x)\)的单增区间为\((-\infty，-1)\)和\((-m-3，+\infty)\)，单减区间为$ (-1，-m-3)$;
当\(m=-2\)时，函数\(g(x)\)只有单增区间为\((-\infty，+\infty)\)；
当\(m>-2\)时，函数\(g(x)\)的单增区间为\((-\infty，-m-3)\)和\((-1，+\infty)\)，单减区间为$ (-m-3，-1)$;
图像叠加
在同一个坐标系中做出几个因子函数的图像，用几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负
分析：函数的定义域为\(R\)，
\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)\)
\(=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a)\)，
在同一个坐标系中做出函数\(y=x-1\)[定图]和函数\(y=e^x+2a\)[动图]的图像，
根据动图\(y=e^x+2a\)是否与\(x\)轴有交点分类讨论如下：[1]
①当\(2a\ge 0\)时，即\(a\ge 0\)时，恒有\(e^x+2a>0\)，
当\(x\in (-\infty，1)\)上时，\(x-1<0\) ，则\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0\)，故\(f(x)\)单调递减，
当\(x\in (1，+\infty)\)上时，\(x-1>0\) ，则\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0\)，故\(f(x)\)单调递增，
当\(2a<0\)时，即\(a<0\)时，\(y=e^x+2a\)与\(x\)轴有交点，令\(e^x+2a=0\)，解得\(x=ln(-2a)\)，
然后针对\(ln(-2a)\)与\(1\)的大小关系继续细分如下，主要是\(ln(-2a)\)和\(1\)分别是两个因子函数的零点；
②当\(ln(-2a)<1\)时，即\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)时，
当\(x\in(-\infty，ln(-2a))\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(x\in(ln(-2a)，1)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；
当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
③当\(ln(-2a)=1\)时，即\(a=-\cfrac{e}{2}\)时，
当\(x\in(-\infty，1)\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
即\(x\in (-\infty，+\infty)\)时，恒有\(f'(x)\ge 0\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号，故\(f(x)\)单调递增；
④当\(ln(-2a)>1\)时，即\(a<-\cfrac{e}{2}\)时，
当\(x\in(-\infty，1)\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(x\in(1，ln(-2a))\)时，\(e^x+2a<0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；
当\(x\in(ln(-2a)，+\infty)\)时，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；
综上所述，
当\(a<-\cfrac{e}{2}\)时，单增区间为\((-\infty，1)\)和\((ln(-2a)，+\infty)\)，单减区间为\((1，ln(-2a))\)；
当\(a=-\cfrac{e}{2}\)时，只有单增区间为\((-\infty，+\infty)\)；
当\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)时，单增区间为\((-\infty，ln(-2a))\)和\((1，+\infty)\)，单减区间为\((ln(-2a)，1)\)；
当\(a\ge 0\)时，单减区间为\((-\infty，1)\)，单增区间为\((1，+\infty)\)；
[点评]：由于教材上所举例子是从数的角度求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，故许多学生碰到这个题目时思路会受阻，需要老师做引导，如果从数的角度不能突破，可以考虑从形的角度入手分析。
特殊图像
当导函数中含有\(e^x\)或\(lnx\)类型且相加时，我们利用其各自的零点，寻找分界点判断导函数的正负，此时的两个和式的零点往往重合
分析：由题目可知，\(e^x-ax-1\ge lnx\)对任意的\(x∈(0，+\infty)\)恒成立，
分离参数得到，\(a\leq \cfrac{e^x-1-lnx}{x}(x>0)\)；
令\(h(x)= \cfrac{e^x-1-lnx}{x}\)，需要求\(h(x)_{min}\)，
\(h'(x)=\cfrac{(e^x-\frac{1}{x})\cdot x-(e^x-1-lnx)\cdot 1}{x^2}\)
\(=\cfrac{xe^x-1-e^x+1+lnx}{x^2}\)
\(=\cfrac{(x-1)e^x+lnx}{x^2}\)
观察分子的和式的结构，可以发现两部分\((x-1)e^x\)和\(lnx\)的零点都是\(x=1\)，故分类如下：
当\(x\in(0，1)\)时，\(x-1<0\)，\(lnx<0\)，则\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减；
当\(x\in(1，+\infty)\)时，\(x-1>0\)，\(lnx>0\)，则\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增；
故\(h(x)_{min}=h(1)=e-1\)，即\(a\leq e-1\).
解后反思：本题目若转化为\(f(x)_{min}\geqslant g(x)_{max}\)，这是错误的。
补遗：已知函数\(f(x)=\cfrac{lnx+1}{e^x}\)，判断单调性。
\(f'(x)=\cfrac{\frac{1}{x}-lnx-1}{e^x}\)，分界点为\(x=1\)。
二阶导数
当数的角度和形的角度都行不通时，尝试用二阶导判断一阶导的正负
分析：当\(a=1\)时，\(f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)\)，
欲证明\(x >0\) 时，\(f(x)<e^x-1\)，即证明\(x>0\)时，\(\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1<0\)恒成立。
令\(g(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1\)，则原题目转化为证明：\(g(x)_{max}<0\)即可。
\(g'(x)=x+\cfrac{1}{x+1}-e^x\)，到此尝试思考：
-
能从数的角度解不等式，找到单调区间吗？
-
能从形的角度做出图像，找到单调区间吗？如果以上两个思路都不行，我们怎么办？
令\(h(x)=x+\cfrac{1}{x+1}-e^x\)，则\(h'(x)=1-e^x-\cfrac{1}{(1+x)^2}\)，
当\(x>0\)时，\(h'(x)<0\)恒成立，
故函数\(g'(x)\)单调递减，则有\(g'(x)<g'(0)=0\)，即有\(x >0\)时，\(g'(x)<0\)恒成立，
则\(x>0\)时，函数\(g(x)\)单调递减，即有\(g(x)<g(0)=0\)恒成立，
即\(g(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1<0\)，即\(\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)<e^x-1\)，
即证明了\(x>0\)时，\(f(x)<e^x-1\)。
解后反思：①用导数证明不等式时，有一个很常用的思路是作差构造新函数，转而求新函数的最值或最值的极限大于小于\(0\)；
②还有一个常用思路是连求两次导数，用二阶导的正负先判断一阶导的增减，再利用一阶导的增减在端点处的值再判断一阶导的正负，从而知道原函数的增减性。
不等式性质
用不等式性质判断导函数正负
分析：由于\(x>0\)，分离参数得到，\(a\ge \cfrac{1}{lnx}-\cfrac{1}{4x}=g(x)\)，需要求函数\(g(x)_{min}\)，
\(g'(x)=\cfrac{-\frac{1}{x}}{(lnx)^2}+\cfrac{1}{4x^2}=-\cfrac{1}{x(lnx)^2}+\cfrac{1}{4x^2}=\cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2\cdot (lnx)^2}\)
接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负，
由于\(x\in [e，e^2]\)，则\(-4x\in [-4e^2，-4e]\)，又\(lnx\in [1，2]\)，\((lnx)^2\in [1，4]\)，
则必有\(-4x+(lnx)^2<0\)，即\(g'(x)<0\)，故\(g(x)\)在区间\([e，e^2]\)上单调递减，
故\(g(x)_{min}=g(e^2)=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4e^2}\)，故\(a\in [\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4e^2}，+\infty)\)。
说明：本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负；
补充：已知函数\(f(x)=ax-2lnx\)，若函数\(f(x)+x^3>0\)对任意\(x\in (1,+\infty)\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围；
分析：分离参数得到，\(a>\cfrac{2lnx}{x}-x^2\)，令\(g(x)=\cfrac{2lnx}{x}-x^2\)
则\(g'(x)=\cfrac{2-2lnx-2x^3}{x^2}=g(x)\)，当\(x>1\)时，\(g'(x)<0\)，故\(g(x)\)单调递减，
\(g(x)_{min}\)的极限为\(g(1)=-1\)，故\(a\geqslant -1\).
对应练习
分析：已知函数\(f(x)=x^2lnx+1-kx\)存在零点，即方程\(f(x)=0\)在定义域\((0，+\infty)\)上有解，
分离参数得到\(k=\cfrac{x^2lnx+1}{x}=xlnx+\cfrac{1}{x}\)，令\(h(x)=xlnx+\cfrac{1}{x}\)，
则题目转化为\(k=h(x)\)在\((0，+\infty)\)上有解，故要么从数的角度求函数\(h(x)\)的值域；要么求其单调性，做函数的图像，从形的角度用数形结合求解。
以下用导数求函数\(h(x)\)的单调性。\(h'(x)=lnx+1-\cfrac{1}{x^2}\)，
此时需要注意，导函数中出现了\(lnx\)，故我们将上述的函数人为的分为两个部分，\(y=lnx\)和\(y=1-\cfrac{1}{x^2}\)，先令\(lnx=0\)得到\(x=1\)，在将\(x=1\)代入\(y=1-\cfrac{1}{x^2}\)验证也是其零点，说明这两个函数的零点重合，故接下来我们将定义域分为\((0，1)\)和\((1，+\infty)\)两部分分类讨论即可：
则\(0<x<1\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，\(x>1\)时，\(h'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，则\(h(x)_{min}=h(1)=1\)。
即\(h(x)\)的值域为\([1，+\infty)\)，故\(k\ge 1\)，即\(k\in [1，+\infty)\)。故选\(B\)
或利用单调性得到函数\(h(x)\)的图像如下，
再利用函数\(y=k\)和函数\(y=h(x)\)的图像有交点，得到\(k\)的取值范围为\(k\in [1，+\infty)\)。故选\(B\)
分析：先将给定的式子通分变形为\(\cfrac{2ex-y}{e}\cdot ln\cfrac{y}{x}\leq \cfrac{x}{me}\)，再次变形为\((2e-\cfrac{y}{x})\cdot ln\cfrac{y}{x}\leq \cfrac{1}{m}\)，
令\(\cfrac{y}{x}=t>0\)，则不等式变形为\((2e-t)\cdot lnt\leq \cfrac{1}{m}\)，令\(h(t)=(2e-t)\cdot lnt\)，则需要求\(h(t)_{max}\)；
\(h'(x)=(-1)lnt+(2e-t)\cdot \cfrac{1}{t}=\cfrac{-t(lnt+1)+2e}{t}\)，先用观察法或经验找到导函数的分子的零点\(t=e\)，
当\(t\in (0，e)\)时，\(h'(t)>0\)，\(h(t)\)单调递增，当\(t\in (e，+\infty)\)时，\(h'(t)<0\)，\(h(t)\)单调递减，
故\(h(t)_{max}=h(e)=e\)，即\(\cfrac{1}{m}\ge e\)，解得\(0<m\leq \cfrac{1}{e}\)；故选\(D\)。
关联题型
- 依托函数的单调性，求函数的极值类型；或已知极值点，求参数的取值范围问题；
(1).当\(a=2\)时，求函数\(f(x)\)在点\((1，f(1))\)处的切线方程；
分析：当\(a=2\)时，\(f(x)=x-2lnx\)，\(f'(x)=1-\cfrac{2}{x}\)，\(f'(1)=-1\)，故函数\(f(x)\)在点\((1，f(1))\)处的切线方程为\(y-1=-(x-1)\)，即\(x+y-2=0\)。
(2).记函数\(g(x)=f(x)-\cfrac{a-1}{x}\)，若当\(x=1\)时，函数\(g(x)\)有极大值，求\(a\)的取值范围；
分析：\(g(x)=x-alnx-\cfrac{a-1}{x}\)，定义域为\((0，+\infty)\)，
则\(g'(x)=1-\cfrac{a}{x}+\cfrac{a-1}{x^2}=\cfrac{x^2-ax+(a-1)}{x^2}=\cfrac{(x-1)[x-(a-1)]}{x^2}\)
令\(g'(x)=0\)，则\(x_1=1\)，\(x_2=a-1\)，以下针对\(a-1\)与\(1\)的关系以及定义域分类讨论如下，
①当\(a-1\leq 0\)时，即\(a\leq 1\)时，
当\(x\in (0，1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，当\(x\in (1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，
故\(x=1\)不是函数\(g(x)\)的极大值点，不合题意；
②当\(0<a-1<1\)时，即\(1<a<2\)时，
当\(x\in (0，a-1)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，当\(x\in (a-1，1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，当\(x\in (1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，故\(x=1\)不是为函数\(g(x)\)的极大值点，不合题意；
③当\(a-1=1\)时，即\(a=2\)时，\(g'(x)\ge 0\)恒成立，故\(x=1\)不是函数\(g(x)\)的极值点，不合题意；
④当\(a-1>1\)时，即\(a>2\)时，
当\(x\in (0，1)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，当\(x\in (1，a-1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，当\(x\in (a-1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，故\(x=1\)为函数\(g(x)\)的极大值点，满足题意；
综上所述，当\(a>2\)时，\(x=1\)为函数\(g(x)\)的极大值点，即所求的\(a\)的取值范围是\((2，+\infty)\).
- 依托函数的单调性，求函数的最值类型；
已知函数\(f(x)=lnx-ax^2+(a-2)x\)，
(1).若\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)的值；
分析：由\(f'(1)=0\)，求得\(a=-1\)，经验证\(a=-1\)满足题意。
注意：必须要验证，使得\(f'(x_0)=0\)的\(x_0\)不见得就是极值点(变号零点)，还有不变号零点；
(2).求函数\(y=f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上的最大值；
分析：由题目可知，定义域为限定定义域\([a^2，a]\)，且由其可知\(a^2-a<0\)，解得参数\(a\in (0，1)\)；
求导，\(f'(x)=\cdots=\cfrac{-2ax+(a-2)x+1}{x}=-\cfrac{(2x-1)(ax+1)}{x}\)，做出其导函数的分子图像可知，分类讨论如下：
说明，区间\([a^2，a]\)是区间长度变化的区间，用其和\(\cfrac{1}{2}\)的位置关系分三类讨论如下，
①当\(0<a\leq \cfrac{1}{2}\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上单调递增，故\(f(x)_{max}=f(a)=lna-a^3+a^2-2a\)；
②当\(a^2\ge \cfrac{1}{2}\)且\(a<1\)时，即\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leq a<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上单调递减，故\(f(x)_{max}=f(a^2)=2lna-a^5+a^3-2a^2\)；
③当\(\cfrac{1}{2}<a<\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)时，\(f(x)\)在区间\([a^2，\cfrac{1}{2}]\)上单调递增，在区间\([\cfrac{1}{2}，a]\)上单调递减，故\(f(x)_{max}=f(\cfrac{1}{2})=\cfrac{a}{4}-1-ln2\)；
综上所述：\(y=f(x)\)在区间\([a^2，a]\)上的最大值为\(f(x)_{max}=F(a)\)
\(F(a)=\left\{\begin{array}{l}{lna-a^3+a^2-2a，0<a\leq \cfrac{1}{2}}\\{\cfrac{a}{4}-1-ln2，\cfrac{1}{2}<a<\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\\{2lna-a^5+a^3-2a^2，\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leq a<1}\end{array}\right.\)
解后反思：1、参数的范围的给出方式要引起注意；2、分类讨论的标准(\(\cfrac{1}{2}\)和区间\([a^2，a]\)的位置关系分为三类；)和技巧(先两边后中间，先简单后复杂)；
- 能转化为求最值的恒成立和能成立类型，或能转化为值域的类型，如上述例5-2.
- 函数有几个零点问题，转化为\(a=f(x)\)图像有几个交点问题，要画函数\(f(x)\)图像需要用到导数求单调性；
- 方程有几个根的问题；
- 两个函数图像有几个交点的问题；
用导数判断函数的单调性时，常以恒正、恒负、正负夹杂三种来分类讨论；
分析：定义域为\((0，+\infty)\)，\(f'(x)=\cfrac{a-1}{x}+2ax=\cfrac{2ax^2+a-1}{x}\)，
[只需要关注分子函数，其正负取决于两个部分\(2a\)和\(a-1\)，当\(2a>0\)且\(a-1\geqslant 0\)时，即\(a\geqslant 1\)时得到恒正；
当\(2a\leqslant 0\)且\(a-1< 0\)时，即\(a\leqslant 0\)得到恒负；其他情形肯定是正负夹杂的情形]
①当\(a\geqslant 1\)时，\(f'(x)>0\)，则\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增；
②当\(a\leqslant 0\)时，\(f'(x)<0\)，则\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递减；
③当\(0<a<1\)时，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\sqrt{\frac{1-a}{2a}}\)，
故当\(x\in (0，\sqrt{\frac{1-a}{2a}})\)时，\(f'(x)<0\)，当\(x\in (\sqrt{\frac{1-a}{2a}}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，
即函数\(f(x)\)在区间\((0，\sqrt{\frac{1-a}{2a}})\)单调递减，在区间\((\sqrt{\frac{1-a}{2a}}，+\infty)\)上单调递增。
(1)、求曲线\(y=f(x)\)在点\((0，f(0))\)处的切线方程。
分析：由题目可知，\(f'(x)=e^xcosx+e^x\cdot (-sinx)-1=e^x(cosx-sinx)-1\)
则切线的斜率\(k=f'(0)=e^0(cos0-sin0)-1=0\)，
又\(f(0)=(e^xcosx-x)_{|x=0}=1\)，即切点为\((0，1)\)，
由点斜式可知切线方程为\(y-1=0(x-0)\)，
整理得到在点\((0，f(0))\)处的切线方程为\(y=1\)。
(2)、求函数\(f(x)\)在区间\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。
分析：由上可知，\(f'(x)=e^x(cosx-sinx)-1\)，
令\(h(x)=e^x(cosx-sinx)-1\)，
则\(h'(x)=e^x(cosx-sinx)+e^x(-sinx-cosx)=-2e^xsinx\)，
当\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)时， 容易知道\(h'(x)=-2e^xsinx<0\)(注意恒有\(e^x>0\))，
即函数\(h(x)\)，也就是函数\(f'(x)\)，在\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)单调递减，
则\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)时，\(h(x)\leq h(0)=0\)，即$f'(x)\leq 0 $恒成立，
即使\(f'(x)=0\)，也是仅仅在单独的端点处，不会影响函数\(f(x)\)的单调性。
则有函数\(f(x)\)在区间$ [0，\cfrac{\pi}{2}]$上单调递减，
故\(f(x)_{min}=f(\cfrac{\pi}{2})=-\cfrac{\pi}{2}\)，\(f(x)_{max}=f(0)=1\)。
感悟反思：
1、关于二阶导的那些事，由解答过程就能看出，函数\(h(x)\)是函数\(f(x)\)的一阶导数，那么函数\(h'(x)\)其实是函数\(f(x)\)的二阶导，由于高中阶段我们只接触学习了一阶导数，故答案中一般不出现二阶导\(f''(x)\)的表示形式，我们做答案是也需要注意这一点。
2、为什么要用二阶导？平时我们的解题经验是一般只给函数\(f'(x)\)求一次导数得到\(f'(x)\)，然后求解导函数不等式，由导函数的正负就知道了原函数\(f(x)\)的单调性了；但是，不是所有的函数求一阶导后，导函数的正负我们就能一目了然，这时候往往需要针对导函数再求导，也就是二阶导，其目的就是想知道导函数的单调性，在我们的解题体验中，往往是二阶导恒为正或恒为负，这样我们就知道了一阶导的单调性，利用一阶导的端点值(往往为0)，从而知道了一阶导的正负，这样原函数的单调性就清楚了。
3、由于上述比较拗口，结合题目做以说明。原函数为\(f(x)\)，一阶导为\(f'(x)=h(x)\)，二阶导为\(h'(x)=f''(x)\)，由于二阶导\(h'(x)=f''(x)=-2e^xsinx<0\)在\((0，\cfrac{\pi}{2})\)上恒成立，则一阶导\(h(x)=f'(x)\)在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递减；此时一阶导\(h(x)=f'(x)\)有最值，取哪一个最值，一般取函数值为0的那一个。比如\(h(x)_{max}=h(0)=0\)，从而知道一阶导\(f'(x)<0\)，这样就知道了原函数\(f(x)\)在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递减；接下来求最值，那还不是小菜一碟吗。
注意分类标准和书写顺序，
先令\(2a=0\)，确定函数\(y=e^x\)的位置，然后让\(2a>0\)，再确定\(y=e^x+2a\)的位置，发现这两种情形下的\(y=e^x+2a>0\)恒成立，故可以合二为一；
等讨论完了这种情形后，在讨论\(2a<0\)，很显然\(2a\geqslant 0\)要简单一些，故首先书写，先确定拿到一部分成绩，稳定心神； ↩︎
