随笔分类 - 高中数学
记录高中数学的有趣题目。
摘要：问题 设 \(a>0\) 且 \(a\ne 1\)，若曲线 \(y=\log_a(5-2^x)\) 关于直线 \(y=x\) 对称，则 \(a=\) 。 解答 解法一：设点 \((t,\log_a(5-2^t))\) 为曲线上任意一点，由条件，该点关于直线 \(y=x\) 的对称点 \((\log_
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摘要：问题 【2007 重庆文】函数 \(f(x)=\sqrt{x^2-2x}+2^{\sqrt{x^2-5x+4}}\) 的最小值为 。 解答 先求定义域： \[\begin{cases} x^2-2x\ge 0\\ x^2-5x+4\ge 0 \end{cases} \]解得该函数的定义域为 \((-
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摘要：问题 已知复数 \(z_1,z_2\) 满足 \(|z_1|=3\)，\(|z_2|=5\)，\(|z_1-z_2|=7\)，求 \(\dfrac{z_1}{z_2}\) 的值。 解答 设 \(z_1=3(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha)\)，\(z_2=5(\cos
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摘要：问题 已知 \(z\) 为虚数，且 \(z+\dfrac{1}{z}\in\mathbb{R}\)，则 \(\left|z^2-2z+3\right|\) 的最小值为 。 解答 因为 \(z+\dfrac{1}{z}\in\mathbb{R}\)，所以 \[\begin{align*} z+\dfr
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摘要：问题 已知 \(a,b\in\mathbb{R}\) 且 \(ab\ne 0\)，复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 满足 \(z^2+bz+a=0\)，求 \(|z|\)。 解答 解法一：根据题意，有 \[\begin{align*} &z^2+bz+a=0\\ \implies&(a+
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摘要：问题 已知复数 \(z_1,z_2\) 满足 \(|z_1|=|z_2|=1\)，\(z_1z_2+z_1+z_2=0\)，则下列说法正确的有 ： \(①\ z_1+z_2=1\)；\(②\ |z_1+z_2|=1\)；\(③\ z_1^2+z_2^2=1\)；\(④\ |z_1^2+z_2^2|=
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摘要：问题 【2026 上海春】已知 \(m>1\)，对于所有满足 \(|z|=2\) 的复数 \(z\)，都有 \(|z-\mathrm{i}|\) 的最小值与 \(|z-m|\) 的最小值相同，则 \(m=\) 。 解答 因为 \(m>1\)，所以 \(m\in\mathbb{R}\)（虚部不为零的复
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摘要：问题 模长为 \(\dfrac{1}{2}\) 的复数 \(z\) 满足 \(\mathrm{i}=a+bz\left(a,b\in\mathbb{R}\right)\)，求 \(b-a\) 的取值范围。 解答 设 \(z=p+q\mathrm{i}\left(p,q\in\mathbb{R}\ri
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