Problems 复数 4

问题

已知 \(a,b\in\mathbb{R}\) 且 \(ab\ne 0\)，复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 满足 \(z^2+bz+a=0\)，求 \(|z|\)。

解答

解法一：根据题意，有

\[\begin{align*} &z^2+bz+a=0\\ \implies&(a+b\mathrm{i})^2+b(a+b\mathrm{i})+a=0\\ \implies&(a^2+a+ab-b^2)+(2ab+b^2)\mathrm{i}=0\\ \end{align*} \]

由实部虚部对应相等，可得

\[\begin{cases} a^2+a+ab-b^2=0\\ 2ab+b^2=0 \end{cases} \]

解得

\[\begin{cases} a=\dfrac{1}{5}\\ b=-\dfrac{2}{5} \end{cases} \]

故 \(z=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}\mathrm{i}\)，\(|z|=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)。

解法二：由实系数方程虚根成对定理，\(z\) 与 \(\overline{z}\) 是实系数方程 \(z^2+bz+a=0\) 的两个成对虚根。

由韦达定理，有

\[\begin{cases} z+\overline{z}=-b\\ z\overline{z}=a \end{cases} \]

另一方面，\(z+\overline{z}=2a\)，\(z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2\)，故

\[\begin{cases} -b=2a\\ a=a^2+b^2 \end{cases} \]

后续步骤同解法一。

评注

利用实系数方程虚根成对定理和韦达定理，可简化计算。