Problems 复数 3

问题

已知复数 \(z_1,z_2\) 满足 \(|z_1|=|z_2|=1\)，\(z_1z_2+z_1+z_2=0\)，则下列说法正确的有     ：

\(①\ z_1+z_2=1\)；\(②\ |z_1+z_2|=1\)；\(③\ z_1^2+z_2^2=1\)；\(④\ |z_1^2+z_2^2|=1\)。

解答

根据复数的性质 \(|z|^2=z\overline{z}\)，有

\[|z_1|^2=z_1\overline{z_1}=1 \implies \overline{z_1}=\dfrac{1}{z_1} \]

\(z_2\) 同理。

再根据共轭复数的性质，有

\[\begin{align*} &z_1+z_2+z_1z_2=0\\ \implies &\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=0\\ \implies &\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}+\dfrac{1}{z_1z_2}=\dfrac{z_1+z_2+1}{z_1z_2}=0\\ \implies &z_1+z_2+1=0 \implies z_1z_2=1 \end{align*} \]

故 \(①\) 错误，\(②\) 正确。

由 \(z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2)^2-2z_1z_2=(-1)^2-2=-1\)，故 \(③\) 错误，\(④\) 正确。

评注

复数的常见性质：\(|z|^2=z\overline{z}\)，\(\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\)，\(\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)。

其中 \(|z|^2=z\overline{z}\) 往往用于处理式子中的常数项。