Problems 函数与导数 1

问题

【2007 重庆文】函数 \(f(x)=\sqrt{x^2-2x}+2^{\sqrt{x^2-5x+4}}\) 的最小值为     。

解答

先求定义域：

\[\begin{cases} x^2-2x\ge 0\\ x^2-5x+4\ge 0 \end{cases} \]

解得该函数的定义域为 \((-\infty,0]\cup[4,+\infty)\)。

分析可知 \(\sqrt{x^2-2x}\) 与 \(\sqrt{x^2-5x+4}\) 均在 \((-\infty,0]\) 上递减，在 \([4,+\infty)\) 上递增，故 \(f(x)\) 在 \((-\infty,0]\) 上递减，在 \([4,+\infty)\) 上递增，所以 \(f(x)_{\min}=\min\{f(0),f(4)\}=\min\{4,2\sqrt{2}+1\}=2\sqrt{2}+1\)。

评注

分析函数性质，定义域优先。简单的分析足以解决很多问题。