Problems 复数 1

问题

模长为 \(\dfrac{1}{2}\) 的复数 \(z\) 满足 \(\mathrm{i}=a+bz\left(a,b\in\mathbb{R}\right)\)，求 \(b-a\) 的取值范围。

解答

设 \(z=p+q\mathrm{i}\left(p,q\in\mathbb{R}\right)\)，则根据题意，有

\[\begin{align*} &\mathrm{i}=a+b(p+q\mathrm{i})\\ \implies &a+bp+(bq-1)\mathrm{i}=0 \end{align*} \]

由实部虚部对应相等，可得

\[\begin{cases} a+bp=0\\ bq=1 \end{cases} \]

显然 \(q\ne 0\)，故

\[\begin{cases} a=-\dfrac{p}{q}\\ b=\dfrac{1}{q} \end{cases} \]

以下有两种解法。

解法一：设所求 \(b-a=\dfrac{1+p}{q}=u\)，则 \(p=uq-1\)。根据题意 \(|z|=\dfrac{1}{2}\) 可得

\[\begin{align*} &p^2+q^2=\dfrac{1}{4}\\ \implies &(uq-1)^2+q^2=\dfrac{1}{4}\\ \implies &(u^2+1)q^2-2uq+\dfrac{3}{4}=0 \end{align*} \]

只需这个关于 \(q\) 的方程有非零实根即可。

显然 \(q=0\) 不是方程的根，令判别式 \(\Delta\ge 0\)，即

\[4u^2-3(u^2+1)\ge 0 \]

解得 \(u\) 的取值范围是 \(\left(-\infty,-\sqrt{3}\right]\cup\left[\sqrt{3},+\infty\right)\)。

解法二：所求 \(b-a=\dfrac{1+p}{q}\)，其几何意义为定点 \((0,-1)\) 与动点 \((q,p)\) 连线的斜率。

由 \(|z|=\dfrac{1}{2}\) 即 \(q^2+p^2=\dfrac{1}{4}\) 可得点 \((q,p)\) 在以原点为圆心、半径为 \(\dfrac{1}{2}\) 的圆上（不包括 \(\left(0,-\dfrac{1}{2}\right),\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\) 两点），如下图。

则连线的斜率范围为 \(\left(-\infty,-\sqrt{3}\right]\cup\left[\sqrt{3},+\infty\right)\)。

评注

本题为笔者原创，灵感源自将复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 中的 \(z\) 与 \(\mathrm{i}\) 互换位置。考虑到结果的简洁性，可将设问改为求 \((a-b)^2\) 的最小值。