Problems 函数与导数 2

问题

设 \(a>0\) 且 \(a\ne 1\)，若曲线 \(y=\log_a(5-2^x)\) 关于直线 \(y=x\) 对称，则 \(a=\)     。

解答

解法一：设点 \((t,\log_a(5-2^t))\) 为曲线上任意一点，由条件，该点关于直线 \(y=x\) 的对称点 \((\log_a(5-2^t),t)\) 也在该曲线上，将其带入曲线方程得：

\[\begin{align*} t=\log_a(5-2^{\log_a(5-2^t)}) &\implies a^t=5-2^{\log_a(5-2^t)}\\ &\implies 2^{\log_a(5-2^t)}=5-a^t\\ &\implies \log_a(5-2^t)=\log_2(5-a^t) \end{align*} \]

该式对定义域内的 \(t\) 恒成立。只有 \(a=2\) 满足，其余的值均不满足。

解法二：注意到曲线过定点 \((2,0)\)，则其关于直线 \(y=x\) 的对称点 \((0,2)\) 也在该曲线上，将其带入曲线方程得 \(2=\log_a(5-2^0)\)，解得 \(a=2\)。

经检验，曲线 \(y=\log_2(5-2^x)\) 确实关于 \(y=x\) 对称（检验过程类似解法一）。

评注

此题有点难绷，我们不妨抽象一下，看看怎么批量构造一堆这样的题。

为方便起见，以下用 \((f\circ g)(x)\) 表示复合函数 \(f(g(x))\)。

1. 找一个简单的函数 \(p\) 使得 \((p\circ p)(x)=x\) 恒成立，例如 \(p(x)=5-x\) 或 \(p(x)=\dfrac{1}{x}\)。

2. 写一个函数 \(h\) 和它的反函数 \(h^{-1}\)，令 \(f=h\circ p\circ h^{-1}\)，此时则有

\[\begin{align*} (f\circ f)(x)&=(h\circ p\circ h^{-1}\circ h\circ p\circ h^{-1})(x)\\ &=(h\circ p\circ p\circ h^{-1})(x)\\ &=(h\circ h^{-1})(x)\\ &=x \end{align*} \]

这样就构造了一个较复杂的函数 \(f\)，满足 \((f\circ f)(x)=x\)。例如，令 \(p(x)=5-x\)，\(h(x)=\log_2{x}\)，即可得到原题。

以下是一些其他的例子，其中 \(\exp(x)=\mathrm{e}^x\)：

\[\begin{align*} y&=\sqrt{5-x^2}\\ y&=\exp\left(\frac{2}{\ln x}\right) \end{align*} \]

写到这里突然想起来这玩意就是二元对称式 \(F(x,y)=0\) 的另一种形式而已，没啥特别的。