Problems 复数 2

问题

【2026 上海春】已知 \(m>1\)，对于所有满足 \(|z|=2\) 的复数 \(z\)，都有 \(|z-\mathrm{i}|\) 的最小值与 \(|z-m|\) 的最小值相同，则 \(m=\)     。

解答

因为 \(m>1\)，所以 \(m\in\mathbb{R}\)（虚部不为零的复数不能比较大小）。

考虑复数的模的几何意义。记复平面内 \(z\) 对应的点为 \(Z\)，则 \(|z-\mathrm{i}|\) 表示 \(Z\) 到点 \((0,1)\) 的距离，\(|z-m|\) 表示 \(Z\) 到点 \((m,0)\) 的距离。

由 \(Z\) 到原点的距离为 \(2\)，则 \(|z-\mathrm{i}|\) 的最小值为 \(|1-2|=1\)，故 \(|z-m|\) 的最小值也为 \(1\)，即 \(||m|-2|=1\)。

又由 \(m>1\)，故 \(m=3\)。

评注

由 \(m>1\) 得到 \(m\in\mathbb{R}\)，是本题的核心。结合复数的模的几何意义，若点 \(Z\) 在半径为 \(r\) 的圆 \(O\) 上，\(P\) 为定点，则 \(|ZP|\) 的最小值为 \(||OP|-r|\)。

事实上，如果抛去 \(m\in\mathbb{R}\) 的限制，则由

\[\begin{align*} ||m|-2|=1 &\iff |m|-2\in\{-1,1\}\\ &\iff |m|\in\{1,3\} \end{align*} \]

可得复平面内 \(m\) 对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径分别为 \(1,3\) 的两个圆，如下图。