Problems 复数 6

问题

已知复数 \(z_1,z_2\) 满足 \(|z_1|=3\)，\(|z_2|=5\)，\(|z_1-z_2|=7\)，求 \(\dfrac{z_1}{z_2}\) 的值。

解答

设 \(z_1=3(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha)\)，\(z_2=5(\cos\beta+\mathrm{i}\sin\beta)\)，则

\[\begin{align*} |z_1-z_2|&=|3\cos\alpha-5\cos\beta+\mathrm{i}(3\sin\alpha-5\sin\beta)|\\ &=\sqrt{9\cos^2\alpha+25\cos^2\beta-30\cos\alpha\cos\beta+9\sin^2\alpha+25\sin^2\beta-30\sin\alpha\sin\beta}\\ &=\sqrt{9+25-30\cos(\alpha-\beta)}=\sqrt{34-30\cos(\alpha-\beta)} \end{align*} \]

由 \(|z_1-z_2|=7\)，可得 \(\sqrt{34-30\cos(\alpha-\beta)}=7\)，所以 \(\cos(\alpha-\beta)=-\dfrac{1}{2}\)，从而 \(\sin(\alpha-\beta)=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。

则 \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{3}{5}\left[\cos(\alpha-\beta)+\mathrm{i}\sin(\alpha-\beta)\right]=\dfrac{3}{5}\left(-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=-\dfrac{3}{10}\pm\dfrac{3\sqrt{3}}{10}\mathrm{i}\)。

评注

本题涉及复数的除法，用复数的三角形式较为方便。

从几何角度，\(|z_1|,|z_2|,|z_1-z_2|\) 实际上给出了一个三角形的三边长，可用余弦定理直接解出夹角 \(\cos\theta=\dfrac{9+25-49}{30}=-\dfrac{1}{2}\)，而 \(\sin\theta\) 的正负取决于 \(z_1,z_2\) 谁的辐角较大，如下图。