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[问题2015S05] 设 \(A\) 是 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\) 可对角化的充分必要条件是 \(A\) 相似于某个如下的循环矩阵: \[C=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_n & a_1 & a_2 & \c 阅读全文
posted @ 2015-04-11 14:45
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[问题2015S04] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, \(C\) 为 \(k\times n\) 矩阵, 且对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}A-\lambda I_n\\ C \end{pmatrix}\) 均为列满秩阵. 阅读全文
posted @ 2015-04-03 07:05
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[问题2015S03] 设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的多项式, \(V\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换, 阅读全文
posted @ 2015-03-28 18:28
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[问题2015S02] 设 \(a,b,c\) 为复数且 \(bc\neq 0\), 证明下列 \(n\) 阶方阵 \(A\) 可对角化: \[A=\begin{pmatrix} a & b & & & & \\ c & a & b & & & \\ & c & a & b & & \\ & & \ 阅读全文
posted @ 2015-03-20 16:45
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[问题2015S01] 设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, 使得对于给定的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\), 或者 \(\varphi(A 阅读全文
posted @ 2015-03-14 09:53
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一、期末考试成绩班级前几名金羽佳(92)、包振航(91)、陈品翰(91)、孙浩然(90)、李卓凡(85)、张钧瑞(84)、郭昱君(84)、董麒麟(84)、张诚纯(84)、叶瑜(84)二、总成绩计算方法平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业12次，10次以上（包括10次）100分，少一次扣10分... 阅读全文
posted @ 2015-01-26 14:07
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八、(本题10分) 设 \(A,B\) 均为 \(m\times n\) 矩阵, 满足 \(r(A+B)=r(A)+r(B)\),证明: 存在 \(m\) 阶非异阵 \(P\), \(n\) 阶非异阵 \(Q\), 使得 \[PAQ=\begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 ... 阅读全文
posted @ 2015-01-25 18:44
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七、(本题10分) 设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}\)为 \(V\) 中的向量组, 定义集合 \(R_S=\{(a_1,a_2,\cdots,a_m)\in\mathbb{K}^m\,|\,a... 阅读全文
posted @ 2015-01-25 16:23
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[问题2014A13] 解答先引入两个简单的结论.结论 1 设 \(\varphi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 若存在正整数 \(k\), 使得 \(\mathrm{r}(\varphi^k)=\mathrm{r}(\varphi^{k+1})\), 则 \[\mat... 阅读全文
posted @ 2014-12-28 17:59
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[问题2014A12] 解答将问题转换成几何的语言: 设 \(\varphi,\psi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 满足 \(\varphi\psi=\psi\varphi=0\), \(\mathrm{r}(\varphi)=\mathrm{r}(\varphi^2... 阅读全文
posted @ 2014-12-27 18:04
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[问题2014A11] 解答我们需要利用以下关于幂等阵判定的结论，它是复旦高代书第 142 页的例 3.6.4:结论 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, 则 \(A^2=A\) 当且仅当 \(\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(I_n-A)=n\).由题中两个条件和上述结论可得\... 阅读全文
posted @ 2014-12-20 14:39
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[问题2014A13] 设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的幂零线性变换且满足 \(\mathrm{r}(\varphi)=n-1\), 求证: \(V\) 是关于线性变换 \(\varphi\) 的循环空间, 即存在向量 ... 阅读全文
posted @ 2014-12-20 13:38
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[问题2014A10] 解答考虑如下变形:\[(I_n-A)^2=(AA'-A)(I_n-A)=A(A'-I_n)(I_n-A)=-A(I_n-A)'(I_n-A).\] 因为 \(A\) 是非异阵, 故 \[\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big)=\mathrm{rank... 阅读全文
posted @ 2014-12-12 15:10
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[问题2014A12] 设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶方阵且满足 \(AB=BA=0\), \(\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A^2)\), 证明: \[\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B).\]提示 利用复旦高代书第 2... 阅读全文
posted @ 2014-12-12 14:59
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[问题2014A09] 解答通过简单的计算可得 \[(AB)^2=9AB,\cdots\cdots(1)\] 将(1) 式的右边移到左边, 并将 \(A,B\) 分别提出可得 \[A(BA-9I_2)B=0.\cdots\cdots(2)\] 下面给出两种方法来讨论.方法一 通过简单的计算可得 \(... 阅读全文
posted @ 2014-12-07 14:30
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