谢启鸿高等代数官方博客

摘要： [问题2014S05] 解答 (本解答由谷嵘同学提供) 首先, 由 \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\) 可得 \(a=0\), 或者由 Cauchy-Binet 公式知 \(|AB|=0\), 从而可得 \(a=0\). 其次, 我们来证明一个一般的结论. 引理 阅读全文

摘要： [问题2014S04] 解答 由于 \(A\) 可对角化, 可设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{C}^n\) 是\(A\) 的\(n\) 个线性无关的特征向量, 即有\[A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,\,i=1,2,\cdots,n,\] 其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的 \(n\) 个特征值.构造\(2n\) 维列向量如下: \[\beta_i=\begin{bmatrix}\alpha_i \\ \alpha_i \end{bmat 阅读全文

摘要： [问题2014S06] 试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题：设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\]设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式,并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两个互异的首一不可约因式, 证明: 存在非零向量 \(\beta,\gamma\in V\) 使得 \[ V=L 阅读全文

摘要： [问题2014S03] 解答 设 \(A\) 的 \(n\) 个特征值分别为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\), 由条件知它们都是不等于零的实数. 根据复旦高代白皮书第 181 页例 6.13 的结论可得 \[ \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_r}=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & 阅读全文

摘要： [问题2014S05] 设 \(A,B\) 分别是 \(4\times 3\) 和 \(3\times 4\) 实矩阵, \[ BA=\begin{pmatrix}-9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8\end{pmatrix},\,AB=\begin{pmatrix}9a-14 & 0 & 9a-15 & 18a-32 \\6a+2b-9 & 1 & 6a+3b-9 & 12a+4b-19 \\-2a+2 & 0 & -2a+3 & - 阅读全文

摘要： [问题2014S02] 解答 首先注意到: 两个实系数多项式 \(f(x),g(x)\) 互素当且仅当 \(f(x),g(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上没有共公根, 当且仅当结式 \(R(f(x),g(x))\neq 0\).我们先证明: 当 \(t\) 充分大时, \(f(x)\)与 \(g_t(x)\) 互素. 事实上, \(f(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上只有 \(n\) 个根, 只要取充分大的 \(t\), 就能保证这\(n\) 个根不是 \(g_t(x)\) 的根.考虑结式\(R(f(x),g_t(x))\), 由定义知它是关于未定元 \ 阅读全文

摘要： [问题2014S04] 设 \(A\in M_n(\mathbb{C})\) 为可对角化的 \(n\) 阶复方阵, \(f(x)\in\mathbb{C}[x]\) 为复系数多项式, 证明: \[B=\begin{bmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \end{bmatrix}\] 也可对角化. 阅读全文

摘要： [问题2014S01] 解答 因为 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 为 \(2\) 次 \(n\) 元对称多项式, 故 \[f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_{i=1}^nx_i^2+2c\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+d\sum_{i=1}^nx_i+e,\] 其中 \(a,c,d,e\) 为实数且 \(a,c\) 中至少有一个非零.根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合 \(S\) 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第 \(i\) 个方程是\(f(x_1,\cdot 阅读全文

摘要： [问题2014S03] 设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且\(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数.若\(A\) 的所有\(n-1\) 阶主子式之和等于零, 证明: 存在 \(A\) 的一个 \(n-2\) 阶主子式, 其符号与 \(|A|\) 的符号相反.注 上述问题略微推广了13级缪欣晨同学问我的一道考研试题. 阅读全文

摘要： 问题2014S02 设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\\ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \end{eqnarray*}其中 \(a_nb_m\neq 0\), \(n\geq 1\), \(m\geq 1\). 设 \(t\) 为实变元, \[g_t(x)=b_mx^m+(b_{m-1}+t)x^{m-1}+\cdots+(b_1+t^{m-1})x+(b_0+t^m).\] 证明: 存 阅读全文

摘要： 问题2014S01 设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的\(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合, 即 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\leq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\}\)\(\cup\)\(\{(b_1,b_2,\cdots,b_n) 阅读全文

摘要： 八、（本题10分）设 \(V\) 为数域\(K\) 上的\(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 为\(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量\(\alpha\in V\) 使得\(V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)\).(1) 证明: \(\{\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha)\}\)为\(V\) 的一组基.(2) 设\(\varphi^n(\alpha)=-a_0\alpha-a_1\varphi(\alpha)-\cdots-a_{n-1}\v 阅读全文

摘要： 七、（本题10分）设 \(A\) 为数域\(K\) 上的\(n\) 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵\(B\in M_n(K)\), \(A^{-1}BA\) 均为对角阵的充分必要条件是\(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中\(P_i\) 均为第一类初等阵 (即对换\(I_n\) 的某两行) 或第二类初等阵 (即非零常数乘以\(I_n\) 的某一行).证明 充分性通过简单验证即可证明. 现证必要性, 设\(A=(a_{ij})_{n\times n}\), 取\(B=\mathrm{diag}\{1,2,\cdots,n\}\), 设\(A^{-1}BA=C=\mathrm{d 阅读全文

摘要： 谢启鸿，复旦大学数学科学学院教授、博士生导师 学习工作经历 1997年6月，本科毕业于复旦大学数学系 2005年3月，获得日本东京大学理学博士学位 2009年1月，回到复旦大学数学科学学院任教 科研情况 研究方向为代数几何，研究兴趣为代数簇的双有理几何和正特征代数几何 在 MRL, Math. Z. 阅读全文

摘要： 以组合定义为出发点的行列式理论的引入方式在很多高等代数或线性代数的教材中被采用, 其优缺点同样明显. 组合定义形式上的简单是其最大的优点, 用它可以简洁地证明行列式的所有性质, 并快速进入行列式的计算等核心内容. 因此, 对于一学期设置的线性代数课程, 通常都是采用组合定义引入行列式. 然而, 组合 阅读全文