谢启鸿高等代数官方博客

摘要： [问题2014S14] 设 \(V\) 为酉空间, 证明: 不存在 \(V\) 上的非零线性变换 \(\varphi\), 使得对 \(V\) 中任一向量 \(v\) 均有 \[(\varphi(v),v)=0.\]注 本题是复旦高代教材 P326 习题 9.1.5 的推广. 阅读全文

摘要： [问题2014S12] 解答先证明一个简单的引理.引理 设 \(B\) 为 \(n\) 阶半正定 Hermite 阵, \(\alpha\) 为 \(n\) 维复列向量, 若 \(\overline{\alpha}^TB\alpha=0\), 则 \(B\alpha=0\).引理的证明 由假设存在 ... 阅读全文

摘要： [问题2014S11] 解答我们先引用一下复旦高代书 P310 的习题 6, 其证明可参考白皮书 P257 的例 8.33：习题6 设实二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots-y_{k+s}^2\), 其中 \(... 阅读全文

摘要： [问题2014S13] (1) 设 \(A\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 若存在主对角元全为 \(1\) 的下三角阵 \(L\in M_n(\mathbb{K})\) 以及上三角阵 \(U\in M_n(\mathbb{K})\) 使得 \(A=LU\), ... 阅读全文

摘要： [问题2014S10] 解答先证明一个简单的引理.引理 设 \(\lambda_0\) 是 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的特征值, 则对任意的正整数 \(k\), Jordan 块 \(J_k(\lambda_0)\) 在 \(A\) 的 Jordan 标准型 \(J\) 中出现的个数为 \[\... 阅读全文

摘要： [问题2014S12] 设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是正实数. [公告] 关于本学期复旦高等代数II（13级）每周一题，新题的公布到第 阅读全文

摘要： [问题2014S09] 解答充分性: 先证明对 Jordan 块 \(J_r(1)\) 以及任意的正整数 \(m\), 均有 \(J_r(1)^m\) 相似于 \(J_r(1)\). 设 \(N=J_r(0)\), 则 \(J_r(1)=I+N\).从而 \[J_r(1)^m=(I+N)^m=I+m... 阅读全文

摘要： [问题2014S11] 设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶实对称阵, \(p(A),p(B),p(A+B)\) 分别为 \(A,B,A+B\) 的正惯性指数, 证明: \[p(A)+p(B)\geq p(A+B).\] 阅读全文

摘要： [问题2014S08] 解答 (此解答由徐昊宸同学和鹿彭同学提供)设 \(P_1(\lambda),P_2(\lambda),Q_1(\lambda),Q_2(\lambda)\) 为可逆 \(\lambda\)-矩阵, 使得 \[P_1(\lambda)(\lambda I_m-A_1)Q_1(\... 阅读全文

摘要： [问题2014S10] 设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵, 证明: \(AB\) 与 \(BA\) 相似的充分必要条件是 \[\mathrm{rank}\big((AB)^i\big)=\mathrm{rank}\big((BA)^i\big),\, i=1,2,\cdots,n-1.\]... 阅读全文

摘要： [问题2014S07] 解答 (本解答由沈启帆同学提供)由复旦高代教材 P265 引理 7.4.1 知 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 的不变因子组为 \[1,\cdots,1,P_i(\lambda)^{e_i}.\] 因此分块对角阵 \(F=\mathrm{diag}\{F(... 阅读全文

摘要： [问题2014S09] 证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{ J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0 \}.\... 阅读全文

摘要： [问题2014S08] 设分块上三角阵 \[A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(m\) 阶方阵 \(A_1\) 的 Jordan 标准型为 \(J_1\), \(n\) 阶方阵 \(A_2\) 的 Jordan 标准型... 阅读全文

摘要： [问题2014S06] 解答 (本解答由巴闻嘉同学给出)设特征多项式 \[f(x)=\det(xI_V-\varphi)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\] 则由 Cayley-Hamilton 定理可得\[\varphi^n+a_{n-1}\varphi^{... 阅读全文

摘要： [问题2014S07] 设 \(A\in M_n(\mathbb{K})\)在数域\(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 其中 \(P_i(\lambda)\)是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式,\(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\). 设 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 为相伴于多项式 \(P_i(\lambda)^{e_i}\) 的友阵 (定义见复旦高代教材 250 页复习题 15), 证明 阅读全文