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[问题2014S06] 解答 (本解答由巴闻嘉同学给出)设特征多项式 \[f(x)=\det(xI_V-\varphi)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\] 则由 Cayley-Hamilton 定理可得\[\varphi^n+a_{n-1}\varphi^{... 阅读全文
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[问题2014S07] 设 \(A\in M_n(\mathbb{K})\)在数域\(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 其中 \(P_i(\lambda)\)是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式,\(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\). 设 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 为相伴于多项式 \(P_i(\lambda)^{e_i}\) 的友阵 (定义见复旦高代教材 250 页复习题 15), 证明 阅读全文
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[问题2014S05] 解答 (本解答由谷嵘同学提供) 首先, 由 \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\) 可得 \(a=0\), 或者由 Cauchy-Binet 公式知 \(|AB|=0\), 从而可得 \(a=0\). 其次, 我们来证明一个一般的结论. 引理 阅读全文
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[问题2014S04] 解答 由于 \(A\) 可对角化, 可设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{C}^n\) 是\(A\) 的\(n\) 个线性无关的特征向量, 即有\[A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,\,i=1,2,\cdots,n,\] 其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的 \(n\) 个特征值.构造\(2n\) 维列向量如下: \[\beta_i=\begin{bmatrix}\alpha_i \\ \alpha_i \end{bmat 阅读全文
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[问题2014S06] 试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题：设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\]设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式,并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两个互异的首一不可约因式, 证明: 存在非零向量 \(\beta,\gamma\in V\) 使得 \[ V=L 阅读全文
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[问题2014S03] 解答 设 \(A\) 的 \(n\) 个特征值分别为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\), 由条件知它们都是不等于零的实数. 根据复旦高代白皮书第 181 页例 6.13 的结论可得 \[ \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_r}=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & 阅读全文
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[问题2014S05] 设 \(A,B\) 分别是 \(4\times 3\) 和 \(3\times 4\) 实矩阵, \[ BA=\begin{pmatrix}-9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8\end{pmatrix},\,AB=\begin{pmatrix}9a-14 & 0 & 9a-15 & 18a-32 \\6a+2b-9 & 1 & 6a+3b-9 & 12a+4b-19 \\-2a+2 & 0 & -2a+3 & - 阅读全文
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[问题2014S02] 解答 首先注意到: 两个实系数多项式 \(f(x),g(x)\) 互素当且仅当 \(f(x),g(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上没有共公根, 当且仅当结式 \(R(f(x),g(x))\neq 0\).我们先证明: 当 \(t\) 充分大时, \(f(x)\)与 \(g_t(x)\) 互素. 事实上, \(f(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上只有 \(n\) 个根, 只要取充分大的 \(t\), 就能保证这\(n\) 个根不是 \(g_t(x)\) 的根.考虑结式\(R(f(x),g_t(x))\), 由定义知它是关于未定元 \ 阅读全文
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[问题2014S04] 设 \(A\in M_n(\mathbb{C})\) 为可对角化的 \(n\) 阶复方阵, \(f(x)\in\mathbb{C}[x]\) 为复系数多项式, 证明: \[B=\begin{bmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \end{bmatrix}\] 也可对角化. 阅读全文
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[问题2014S01] 解答 因为 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 为 \(2\) 次 \(n\) 元对称多项式, 故 \[f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_{i=1}^nx_i^2+2c\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+d\sum_{i=1}^nx_i+e,\] 其中 \(a,c,d,e\) 为实数且 \(a,c\) 中至少有一个非零.根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合 \(S\) 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第 \(i\) 个方程是\(f(x_1,\cdot 阅读全文
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[问题2014S03] 设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且\(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数.若\(A\) 的所有\(n-1\) 阶主子式之和等于零, 证明: 存在 \(A\) 的一个 \(n-2\) 阶主子式, 其符号与 \(|A|\) 的符号相反.注 上述问题略微推广了13级缪欣晨同学问我的一道考研试题. 阅读全文
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问题2014S02 设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\\ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \end{eqnarray*}其中 \(a_nb_m\neq 0\), \(n\geq 1\), \(m\geq 1\). 设 \(t\) 为实变元, \[g_t(x)=b_mx^m+(b_{m-1}+t)x^{m-1}+\cdots+(b_1+t^{m-1})x+(b_0+t^m).\] 证明: 存 阅读全文
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问题2014S01 设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的\(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合, 即 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\leq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\}\)\(\cup\)\(\{(b_1,b_2,\cdots,b_n) 阅读全文
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八、（本题10分）设 \(V\) 为数域\(K\) 上的\(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 为\(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量\(\alpha\in V\) 使得\(V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)\).(1) 证明: \(\{\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha)\}\)为\(V\) 的一组基.(2) 设\(\varphi^n(\alpha)=-a_0\alpha-a_1\varphi(\alpha)-\cdots-a_{n-1}\v 阅读全文
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七、（本题10分）设 \(A\) 为数域\(K\) 上的\(n\) 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵\(B\in M_n(K)\), \(A^{-1}BA\) 均为对角阵的充分必要条件是\(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中\(P_i\) 均为第一类初等阵 (即对换\(I_n\) 的某两行) 或第二类初等阵 (即非零常数乘以\(I_n\) 的某一行).证明 充分性通过简单验证即可证明. 现证必要性, 设\(A=(a_{ij})_{n\times n}\), 取\(B=\mathrm{diag}\{1,2,\cdots,n\}\), 设\(A^{-1}BA=C=\mathrm{d 阅读全文