习题-关系

习题

等价关系

 1. 对于平面上两个点\((x_0,y_0)\)和\((x_1,y_1)\)，当\(y_0-x_0^2=y_1-x_1^2\)时规定它们是等价的。验证这是一个等价关系并给出等价类。

 2. 设\(C\)为集合\(A\)中的一个关系，\(A_0\subset A\)。\(C\)在\(A_0\)上的限制定义为关系\(C\cap (A_0\times A_0)\)。证明等价关系的限制是一个等价关系。

 3. 这里给出任何满足对称性和传递性的关系也满足自反性的一个“证明”：“因为\(C\)有对称性，由\(aCb\)得出\(bCa\)。因为\(C\)有传递性，由\(aCb\)及\(bCa\)得出\(aCa\)，证毕。”请找出其中的错误。

 4. 设\(f:A\rightarrow B\)是一个满射，用

\[f(a_0)=f(a_1) \]

定义\(A\)中的一个关系\(a_0\sim a_1\)。
 (a) 证明这是一个等价关系。
 (b) 设\(A^*\)为等价类的集合，证明在\(A^*\)与\(B\)之间有一个一一对应。

 5. 设\(S\)和\(S'\)为平面的两个子集：

\[\begin{gathered} S=\{(x,y)|y=x+1\text{和}0<x<2\}\\ S'=\{(x,y)|y-x\text{是一个整数}\} \end{gathered} \]

 (a) 证明\(S'\)是实直线中的一个等价关系并且\(S'\supset S\)。给出\(S'\)的等价类。
 (b) 证明对于集合\(A\)上的等价关系的任意一个族，其交也是\(A\)中的一个等价关系。
 (c) 给出实直线中的一个等价关系\(T\)，使之称为实直线中包含\(S\)的所有等价关系的交。写出\(T\)的等价类。

序关系

 6. 定义平面中的一个关系为：当\(y_0-x_0^2<y_1-x_1^2\)，或当\(y_0-x_0^2=y_1-x_1^2\)并且\(x_0<x_1\)时

\[(x_0,y_0)<(x_1,y_1) \]

 证明这是平面上的一个全序关系，并给出几何解释。

 7. 证明：全序关系的限制是一个全序关系。

 8. 定义实直线上的一个关系\(C\)为：当\(x^2<y^2\)，或者\(x^2=y^2\)并且\(x<y\)时，有\(xCy\)。验证\(C\)是一个全序关系。

 9. 验证字典序是一个全序关系。

 10. (a) 证明\(f:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\frac{x}{1-x^2}\)是保序的。
 (b) 证明由\(g(y)=\frac{2y}{1+(1+4y^2)^{\frac{1}{2}}}\)所定义的函数\(g:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)\)既是\(f\)的左逆又是\(f\)的右逆。

 11. 证明：全序集的一个元素最多有一个紧接后元，也最多有一个紧接前元。证明：全序集的一个子集最多有一个最小元，也最多有一个最大元。

 12. 设\(\mathbb{Z}_+\)表示正整数集。考虑\(\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\)上的下列全序关系：
 (i) 字典序。
 (ii) 当\(x_0-y_0<x_1-y_1\)，或者当\(x_0-y_0=x_1-y_1\)并且\(y_0<y_1\)时，\((x_0,y_0)<(x_1,y_1)\)。
 (iii) 当\(x_0+y_0<x_1+y_1\)，或者当\(x_0+y_0=x_1+y_1\)并且\(y_0<y_1\)时，\((x_0,y_0)<(x_1,y_1)\)。
在这些全序关系中，什么元素有紧接前元？这个集合有一个最小元吗？证明这三个序型互不相同。

 13. 证明下述定理：
 定理 如果一个全序集\(A\)具有上确界性质，则它也具有下确界性质。

 14. 若\(C\)为集合\(A\)中的一个关系，定义\(A\)上的一个新关系\(D\)为：当\((a,b)\in C\)时，\((b,a)\in D\)。
 (a) 证明：\(C\)具有对称性当且仅当\(C=D\)。
 (b) 证明：若\(C\)是一个全序关系，则\(D\)也是一个全序关系。
 (c) 证明习题 13中那个定理的逆定理。

 15. 假定实直线具有上确界性质。
 (a) 证明集合

\[\begin{gathered} {[0,1]}=\{x|0 \leqslant x \leqslant 1\}\\ [0,1)=\{x|0 \leqslant x < 1\} \end{gathered} \]

具有上确界性质。
 (b) 在字典序下的\([0,1]\times[0,1]\)具有上确界性质吗？对于\([0,1]\times[0,1)\)呢？对于\([0,1)\times[0,1]\)呢？

解答

等价关系

 1. 解 设题目定义的关系为\(C\)。对于平面上任意一点\((x,y)\)，容易验证\(y-x^2=y-x^2\)，故\((x,y)C(x,y)\)，满足自反性。

 对于任意两点\((x_0,y_0),(x_1,y_1)\)，若\((x_0,y_0)C(x_1,y_1)\)，则\(y_0-x_0^2=y_1-x_1^2\)，那么\(y_1-x_1^2=y_0-x_0^2\)，即\((x_1,y_1)C(x_0,y_0)\)，满足对称性。

 对于任意三点\((x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，若\((x_0,y_0)C(x_1,y_1),(x_1,y_1)C(x_2,y_2)\)，那么\(y_0-x_0^2=y_1-x_1^2=y_2-x_2^2\)，即\((x_0,y_0)C(x_2,y_2)\)，满足传递性。

 综上可知，\(C\)为等价关系。

 由定义可知，\(C\)的等价类实际上是集族\(\{\{(x,y)|y-x^2=c\}|c\in\mathbb{R}\}\)，即形如\(y=x^2+c\)的二次函数族。

 2. 证明 对于任意\(a\in A_0\)，由于\(A_0\subset A\)，结合\(C\)的自反性可知\((a,a)\in C\)，则\((a,a)\in C\cap(A_0\times A_0)\)，故\(C\cap(A_0\times A_0)\)满足自反性。

 对于任意\(a_0,a_1\in A_0\)，若\((a_0,a_1)\in C\cap (A_0\times A_0)\)，则\((a_0,a_1)\in C\)，结合\(C\)的对称性可知\((a_1,a_0)\in C\)，又\((a_1,a_0)\in A_0\times A_0\)，故\((a_1,a_0)\in C\cap (A_0\times A_0)\)，\(C\cap(A_0\times A_0)\)满足对称性。

 对于任意\(a_0,a_1,a_2\in A_0\)，若\((a_0,a_1),(a_1,a_2)\in C\cap (A_0\times A_0)\)，则\((a_0,a_1),(a_1,a_2)\in C\)，结合\(C\)的传递性可知\((a_0,a_2)\in C\)，又\((a_0,a_2)\in A_0\times A_0\)，故\((a_0,a_2)\in C\cap (A_0\times A_0)\)，\(C\cap(A_0\times A_0)\)满足传递性。

 综上可知，\(C\cap(A_0\times A_0)\)是\(A_0\)上的等价关系。

$\square$

 3. 解 该证明的错误之处在于，其未考虑是否存在\(a,b\)使得\(aCb\)。举例来说，对于\(A=\{1,2\}\)上的关系\(C=\{\{1,1\}\}\)，其显然满足对称性和传递性，但其不满足自反性。若要得到\(2C2\)，题目中的证明要求\(2C1\)或\(2C2\)，这显然不成立，故无法推出\(C\)具有自反性。

 4. 证明 (a) 对于任意\(a\in A\)，显然有\(f(a)=f(a)\)，故\(a\sim a\)，\(\sim\)具有自反性。

 对于任意\(a_0,a_1\in A\)，若\(a_0\sim a_1\)，则\(f(a_0)=f(a_1)\)，\(f(a_1)=f(a_0)\)，那么\(a_1\sim a_0\)，故\(\sim\)具有对称性。

 对于任意\(a_0,a_1,a_2\in A\)，若\(a_0\sim a_1,a_1\sim a_2\)，则\(f(a_0)=f(a_1)=f(a_2)\)，那么\(a_0\sim a_2\)，故\(\sim\)具有传递性。

 综上可知，\(\sim\)是一个等价关系。

 (b) 定义函数\(g:A^*\rightarrow B,g(E)=f(x),x\in E\text{且}E\in A^*\)。首先证明函数\(g\)是良定义的。对于任意\(x,y\in E\)，由等价类的定义可知\(x\sim y\)，即\(f(x)=f(y)\)，故\(g(E)\)与\(E\)中的具体元素无关，\(g\)是良定义的。

 下面证明\(g\)是单射。若存在\(E,E'\in A^*\)，且\(g(E)=g(E')\)，则存在\(x\in E,y\in E'\)，使得\(f(x)=f(y)\)，即\(x\sim y\)，这说明\(E=E'\)。由此可知\(g\)为单射。

 下面证明\(g\)是满射。对任意\(b\in B\)，由\(f\)的满射性可知，存在\(x\in A\)，使得\(f(x)=b\)，则取\(E\)为\(A^*\)中包含\(x\)的等价类，则\(g(E)=f(x)=b\)。由此可知\(g\)为满射。

 综上可知，\(g\)即为\(A^*\)与\(B\)之间的一一对应。

$\square$

 5. 证明 (a) 对于任意\(x\in\mathbb{R}\)，有\(x-x=0\)，故\((x,x)\in S'\)，\(S'\)满足自反性。

 对于任意\(x,y\in\mathbb{R}\)，若\((x,y)\in S'\)，则\(x-y\)为整数，又\(y-x=-(x-y)\)，整数的相反数也是整数，故\((y,x)\in S'\)，\(S'\)满足对称性。

 对于任意\(x,y,z\in\mathbb{R}\)，若\((x,y),(y,z)\in S'\)，则\(x-y,y-z\)均为整数，又\(x-z=(x-y)+(y-z)\)，两个整数之和也为整数，故\((x,z)\in S'\)，\(S'\)满足传递性。

 综上可知，\(S'\)是一个实直线上的等价关系。

 注意到对于任意\((x,y)\in S\)，都有\(y-x=1\)，故\((x,y)\in S'\)，\(S\subset S'\)。

 \(S'\)对应的等价类为\(\{\{r+n|n\in\mathbb{Z}\}|r\in[0,1)\}\)，其中\(\mathbb{Z}\)为整数集。要证明这一点，只需注意到任意实数都可以通过加减一个整数落入\([0,1)\)，这说明任意一个实数都与\([0,1)\)中的某个数关于关系\(S'\)等价。且\([0,1)\)中任意两个不同数的差不可能为整数，这保证了\(\{r+n|n\in\mathbb{Z}\}\)在不同的\(r\)下两两不同。

 (b) 设\(\mathcal{C}\)为\(A\)上等价关系的一个族，令\(R=\bigcap_{C\in\mathcal{C}}C\)。

 对于任意\(a\in A，C\in\mathcal{C}\)，由于\(C\)是\(A\)上的等价关系，有\((a,a)\in C\)，那么\((a,a)\in \bigcap_{C\in\mathcal{C}}C=R\)，\(R\)满足自反性。

 对于任意\(a_0,a_1\in A\)，若\((a_0,a_1)\in \bigcap_{C\in\mathcal{C}}C=R\)，那么对于任意\(C\in\mathcal{C}\)，有\((a_0,a_1)\in C\)。由\(C\)的对称性可知\((a_1,a_0)\in C\)，故\((a_1,a_0)\in \bigcap_{C\in\mathcal{C}}C=R\)，\(R\)满足对称性。

 对于任意\(a_0,a_1,a_2\in A\)，若\((a_0,a_1),(a_1,a_2)\in \bigcap_{C\in\mathcal{C}}C=R\)，那么对于任意\(C\in\mathcal{C}\)，有\((a_0,a_1),(a_1,a_2)\in C\)。由\(C\)的传递性可知\((a_0,a_2)\in C\)，故\((a_0,a_2)\in \bigcap_{C\in\mathcal{C}}C=R\)，\(R\)满足传递性。

 综上可知，\(R=\bigcap_{C\in\mathcal{C}}C\)是一个\(A\)中的等价关系。

 (c) 令\(T=\{(x,y)||x-y|\in\{1,2\}\text{且}x,y\in (0,3)\}\cup\{(r,r)|r\in\mathbb{R}\}\)，下面证明\(T\)为等价关系。

 对于任意\(x\in\mathbb{R}\)，有\((x,x)\in T\)，故\(T\)满足自反性。

 对于任意\(x,y\in \mathbb{R}\)，若\((x,y)\in T\)，当\(x=y\)时对称性显然成立。当\(x\ne y\)时，\(x,y\in (0,3)\)，\(|x-y|\in\{1,2\}\)，那么\(|y-x|\in \{1,2\}\)，即\((y,x)\in T\)。由此可知\(T\)满足对称性。

 对于任意\(x,y,z\in \mathbb{R}\)，若\((x,y),(y,z)\in T\)，当\(x= y\)或\(y=z\)时，传递性显然成立。不妨考虑\(x\ne y,y\ne z\)，此时\(x,y,z\in (0,3)\)，\(|x-y|\in\{1,2\},|y-z|\in\{1,2\}\)，那么\(|x-z|\)可能取\(0,1,2,3,4\)。注意到\(x,z\in (0,3)\)，故\(|x-z|\)只可能取\(0,1,2\)，那么\((x,z)\in T\)。由此可知\(T\)满足传递性。

 综上可知，\(T\)是实直线中的一个等价关系。

 设\(\mathcal{C}\)为包含\(S\)的所有实直线中等价关系的族。不难验证\(T\in \mathcal{C}\)，则\(\bigcap_{C\in\mathcal{C}}C\subset T\)。

 设\(C\)为一个包含\(S\)的实直线中的等价关系，那么显然有\(S=\{(x,y)|y-x=1\text{且}x,y\in (0,3)\}\subset C\)，结合\(C\)的对称性可知\(\{(x,y)||x-y|=1\text{且}x,y\in (0,3)\}\subset C\)。对于任意\(x,z\in(0,3)\)，若\(|x-z|=2\)，有\(y=\frac{x+z}{2}\in (0,3)\)，使得\(|x-y|=1,|y-z|=1\)，即\((x,y),(y,z)\in C\)。由\(C\)的传递性可知\((x,z)\in (0,3)\)。故\(T=\{(x,y)||x-y|\in\{1,2\}\text{且}x,y\in (0,3)\}\subset C\)。结合(b)可知\(\bigcap_{C\in\mathcal{C}}C\)为一个包含\(S\)的实直线中的等价关系，故\(\bigcap_{C\in\mathcal{C}}C\supset T\)。

 综上可知，\(T=\bigcap_{C\in\mathcal{C}}C\)。

 由定义可知，\(T\)的等价类为\(\{\{r+n|n\in \{0,1,2\}\}|r\in(0,1)\}\cup\{\{1,2\}\}\cup\{\{r\}|r\in \mathbb{R}-(0,3)\}\)。

$\square$

序关系

 6. 证明 对于任意\((x_0,y_0),(x_1,y_1)\)，设\((x_0,y_0)\ne(x_1,y_1)\)。若\(y_0-x_0^2\ne y_1-x_1^2\)，显然有\((x_0,y_0)<(x_1,y_1)\)或\((x_0,y_0)>(x_1,y_1)\)。若\(y_0-x_0^2 = y_1-x_1^2\)，当\(x_0\ne x_1\)时，显然有\((x_0,y_0)<(x_1,y_1)\)或\((x_0,y_0)>(x_1,y_1)\)。若\(x_0=x_1\)，那么结合\(y_0-x_0^2 = y_1-x_1^2\)可知\(y_0=y_1\)，这与\((x_0,y_0)\ne(x_1,y_1)\)矛盾。故\((x_0,y_0)<(x_1,y_1)\)或\((x_0,y_0)>(x_1,y_1)\)成立，关系\(<\)满足可比较性。

 对于任意\((x,y)\)，有\(y-x^2=y-x^2\)且\(x=x\)，故\((x,y)<(x,y)\)不成立，关系\(<\)满足非自反性。

 对于任意\((x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，若\((x_0,y_0)<(x_1,y_1),(x_1,y_1)<(x_2,y_2)\)，那么有\(y_0-x_0^2\leqslant y_1-x_1^2\leqslant y_2-x_2^2\)。若其中有一个等号不成立，则显然有\((x_0,y_0)<(x_2,y_2)\)。若两个等号均成立，则必有\(x_0<x_1<x_2\)，显然有\((x_0,y_0)<(x_2,y_2)\)。由此可知，关系\(<\)满足传递性。

 综上可知，\(<\)是平面上的一个全序关系。其几何解释是，不同二次函数\(y=x^2+c\)上的点的大小比较等价于最小值\(c\)的大小比较，同一二次函数上的点的大小比较等价于横坐标大小比较。

$\square$

 7. 证明 设\(C\)为集合\(A\)中的一个全序关系，\(A_0\subset A\)，则\(C\)在\(A_0\)上的限制为\(C\cap(A_0\times A_0)\)。

 对于任意\(x,y\in A_0\)，若\(x\ne y\)，由\(A_0\subset A\)和\(C\)的可比较性可知，\((x,y)\in C\)或\((y,x)\in C\)。又\((x,y),(y,x)\in A_0\times A_0\)，故\((x,y)\in C\cap(A_0\times A_0)\)或\((y,x)\in C\cap(A_0\times A_0)\)。由此可知\(C\cap(A_0\times A_0)\)满足可比较性。

 对于任意\(x\in A_0\)，若\((x,x)\in C\cap(A_0\times A_0)\)，则\((x,x)\in C\)，这与\(C\)的非自反性矛盾。由此可知\(C\cap(A_0\times A_0)\)满足非自反性。

 对于任意\(x,y,z\in A_0\)，若\((x,y),(y,z)\in C\cap(A_0\times A_0)\)，则\((x,y),(y,z)\in C\)。由\(C\)的传递性可知\((x,z)\in C\)，又\((x,z)\in A_0\times A_0\)，故\((x,z)\in C\cap(A_0\times A_0)\)。由此可知\(C\cap(A_0\times A_0)\)满足传递性。

 综上可知，\(C\cap(A_0\times A_0)\)是一个全序关系。

$\square$

 8. 解 对于任意\(x,y\in\mathbb{R}\)，设\(x\ne y\)。若\(x^2\ne y^2\)，则显然有\(xCy\)或\(yCx\)。若\(x^2=y^2\)，则由\(x\ne y\)可知\(xCy\)或\(yCx\)。由此可知，\(C\)满足可比较性。

 对于任意\(x\in\mathbb{R}\)，有\(x^2=x^2\)和\(x=x\)，故\(xCx\)不成立。由此可知，\(C\)满足非自反性。

 对于任意\(x,y,z\in\mathbb{R}\)，若\(xCy,yCz\)，则有\(x^2\leqslant y^2\leqslant z^2\)成立。若有一个等号不成立，显然有\(xCz\)。若两个等号均成立，则\(x<y<z\)，显然有\(xCz\)。由此可知，\(C\)满足传递性。

 综上可知，\(C\)是一个全序关系。

 9. 解 设\(A,B\)为分别具有全序关系\(<_A,<_B\)的全序集。对于任意\((a_0,b_0),(a_1,b_1)\in A\times B\)，若\((a_0,b_0)\ne(a_1,b_1)\)，当\(a_0\ne a_1\)时，由\(<_A\)的可比较性可知\((a_0,b_0)<(a_1,b_1)\)或\((a_0,b_0)>(a_1,b_1)\)。当\(a_0 = a_1\)时，必有\(b_0\ne b_1\)，否则与\((a_0,b_0)\ne(a_1,b_1)\)矛盾。由\(<_B\)的可比较性可知\((a_0,b_0)<(a_1,b_1)\)或\((a_0,b_0)>(a_1,b_1)\)。由此可知，字典序\(<\)满足可比较性。

 对于任意\((a,b)\in A\times B\)，由于\(a=a,b=b\)，结合字典序的定义可知\((a,b)<(a,b)\)不成立。由此可知，字典序\(<\)满足非自反性。

 对于任意\((a_0,b_0),(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in A\times B\)，若\((a_0,b_0)<(a_1,b_1),(a_1,b_1)<(a_2,b_2)\)，则必有\(a_0\leqslant_A a_1 \leqslant_A a_2\)，这里\(x \leqslant_A y\)定义为\(x <_A y\)或\(x=y\)。若有一个等号不成立，显然有\((a_0,b_0)<(a_2,b_2)\)。若两个等号均成立，则必有\(b_0 <_B b_1 <_B b_2\)，那么\((a_0,b_0)<(a_2,b_2)\)。由此可知，字典序\(<\)满足传递性。

 综上可知，字典序\(<\)是一个全序关系。

 10. 证明 (a) 有\(f(x)=\frac{x}{1-x^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})\)。注意到\(\frac{1}{1-x}\)和\(\frac{1}{1+x}\)在\((-1,1)\)上分别为严格增函数和严格减函数，故\(f(x)\)为严格增函数，进而可知\(f(x)\)是一个单射。对于任意\(r\in\mathbb{R},x\in(-1,1)\)，\(f(x)=r\iff rx^2 + x - r=0\)。令\(g(x)=rx^2+x-r\)，则\(h(-1)=-1<0,h(1)=1>0\)，故\(h(x)\)在\((-1,1)\)上必有一个零点\(x_0\)，使得\(h(x_0)=rx_0^2+x_0-r=0\iff f(x_0)=r\)，由此可知\(f(x)\)为满射。综上可知，\(f\)为一个一一对应，且对于任意\(x_1,x_2\in(-1,1)\)，\(x_1<x_2\Longrightarrow f(x_1)<f(x_2)\)，故\(f\)为保序映射。

 (b) 对于\(g\circ f:(-1,1)\rightarrow (-1,1)\)，有

\[\begin{aligned} (g\circ f)(x) &= g(f(x))\\ &= g(\frac{x}{1-x^2})\\ &=\frac{\frac{2x}{1-x^2}}{1+[1+4(\frac{x}{1-x^2})^2]^{\frac{1}{2}}}\\ &=\frac{\frac{2x}{1-x^2}}{1 + \frac{1+x^2}{1-x^2}}\\ &=\frac{\frac{2x}{1-x^2}}{\frac{2}{1-x^2}}\\ &=x \end{aligned} \]

故\(g\circ f = i_{(-1,1)}\)，\(g\)为\(f\)的左逆。

 对于\(f\circ g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)，有

\[\begin{aligned} (f\circ g)(y) &= f(g(y))\\ &=f(\frac{2y}{1+(1+4y^2)^{\frac{1}{2}}})\\ &=\frac{\frac{2y}{1+(1+4y^2)^{\frac{1}{2}}}}{1-(\frac{2y}{1+(1+4y^2)^{\frac{1}{2}}})^2}\\ &=\frac{\frac{2y}{1+(1+4y^2)^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2}{1+(1+4y^2)^{\frac{1}{2}}}}\\ &=y \end{aligned} \]

故\(f\circ g = i_{\mathbb{R}}\)，\(g\)为\(f\)的右逆。

$\square$

 11. 证明 设\(A\)为具有全序关系\(<\)的一个全序集。对于任意\(x\in A\)，若\(x\)有两个紧接后元\(b_0,b_1\)，那么由\(b_0\ne b_1\)可以推出\(b_0<b_1\)或\(b_1<b_0\)，即\(x<b_0<b_1\)或\(x<b_1<b_0\)，这分别与\(b_1\)和\(b_0\)的紧接后元定义矛盾。类似地，若\(x\)有两个紧接前元\(a_0,a_1\)，那么由\(a_0\ne a_1\)可以推出\(a_0<a_1\)或\(a_1<a_0\)，即\(a_0<a_1<x\)或\(a_1<a_0<x\)，这分别与\(a_0\)和\(a_1\)的紧接前元定义矛盾。由此可知，全序集的一个元素最多有一个紧接前元，也最多有一个紧接后元。

 对于任意非空\(A_0\subset A\)，若\(A_0\)的有两个最小元\(a_0,a_1\)，则\(a_0,a_1\in A_0\)。由\(a_0\ne a_1\)可知\(a_0<a_1\)或\(a_1<a_0\)，这分别与\(a_1\)和\(a_0\)的最小元定义矛盾。类似地，若\(A_0\)有两个最大元\(b_0,b_1\)，则\(b_0,b_1\in A_0\)。由\(b_0\ne b_1\)可知\(b_0<b_1\)或\(b_1<b_0\)，这分别与\(b_0\)和\(b_1\)的最大元定义矛盾。由此可知，全序集的一个子集最多有一个最小元，也最多有一个最大元。

$\square$

 12. 解 对于全序关系(i)，\(\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+-\{(n,1)|n\in\mathbb{Z}\}\)中的元素有紧接前元。对于全序关系(ii)，\(\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+ - \{{(m,n)|mn=1\text{且}m,n\in\mathbb{Z}_+}\}\)中的元素有紧接前元。对于全序关系(iii)，\(\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+-\{(1,1)\}\)中的元素有紧接前元。

 注意到全序关系(i)具有最小元\((1,1)\)，全序关系(ii)没有最小元，而全序关系(iii)有最小元\((1,1)\)。

 由最小元的存在性可知，全序关系(ii)一定与(i)和(iii)的序型不同。考虑紧接前元的存在性，(i)中无紧接前元的元素集合是无限可数的，而(iii)中无紧接前元的元素集合基数为1，这说明(i)与(iii)的序型也不同。

 13. 证明 设\(A\)为具有全序关系\(<\)的全序集，其满足上确界性质。对于任意\(A\)的非空子集\(A_0\)，设\(L\)为\(A_0\)下界的集合。\(L\)非空当且仅当\(A_0\)具有下界。此时由\(A_0\)的非空性可知\(L\)具有上界，由上确界性质可知\(L\)具有上确界\(\sup L\)，记为\(b\)。若\(b\in L\)，则\(b\)自然为\(L\)的最大元，\(b\)即为\(A_0\)的下确界。若\(b\notin L\)，则存在\(a\in A_0\)，使得\(a < b\)。又\(b\)为\(L\)的上确界，则\(a\)必然不是\(L\)的上界，即存在\(b'\in L\)，使得\(a<b'\)，这与\(L\)的定义矛盾。综上可知，\(A\)具有下确界性质。

$\square$

 14. 证明 (a) 若\(C\)具有对称性，则对于任意的\((a,b)\in D\)，显然有\((b,a)\in C\)，那么\((a,b)\in C\)，由此可知\(D\subset C\)。又对于任意\((a,b)\in C\)，有\((b,a)\in C\)，则\((a,b)\in D\)，由此可知\(D\supset C\)。综上可知，\(C=D\)。

 若\(C=D\)，则对于任意\((a,b)\in C\)，\((b,a)\in D=C\)，故\(C\)具有对称性。

 综上可知，\(C\)具有对称性当且仅当\(C=D\)。

 (b) 设\(C\)是一个全序关系。对于任意\(a,b\in A\)，若\(a\ne b\)，则\((a,b)\in C\)或\((b,a)\in C\)，那么\((b,a)\in D\)或\((a,b)\in D\)。由此可知，\(D\)具有可比较性。

 对于任意\(a\in A\)，必有\((a,a)\notin D\)。否则\((a,a)\in C\)，这与\(C\)的非自反性矛盾。由此可知，\(D\)具有非自反性。

 对于任意\(a,b,c\in A\)，若\((a,b),(b,c)\in D\)，则\((b,a),(c,b)\in C\)，由\(C\)的传递性可知\((c,a)\in C\)，故\((a,c)\in D\)。由此可知，\(D\)具有传递性。

 综上可知，\(D\)是一个全序关系。

 (c) 设全序集\(A\)上的全序关系为\(C\)，令\(D\)为习题 14中定义的那样。那么\(aCb\iff bDa\)。借助该反序对应，我们可以将习题 13中定理的证明对应为其逆定理的证明，只需将证明中用到的\(C\)替换为\(D\)，上界与下界相互替换，最小元与最大元相互替换，上确界与下确界相互替换。

$\square$

 15. 解 (a) 注意到\([0,1]\)和\([0,1)\)均满足“凸性”：若\(x,y\in A_0\subset A,x<y\)，则对任意\(z\in A\)，若其满足\(x<z<y\)，那么\(z\in A_0\)。

 下面我们证明一个更广泛的结论：对于满足上确界性质的全序集\(A\)，若其子集\(A_0\)具有“凸性”，设全序关系\(<_A\)在\(A_0\)上的限制为\(<_{A_0}\)，\(A_0\)关于\(<_{A_0}\)具有上确界性质。

 对于\(A_0\)的任意非空子集\(B\)，设其存在元素\(a\)。若\(B\)在\(A_0\)中有上界\(b_0\)，则\(B\)在\(A\)中也有上界，由\(A\)的上确界性质可知，存在\(A\)中的上确界\(b_A\)。那么\(a<_{A} b_A \leqslant_A b_0\)，由\(A_0\)的凸性可知\(b_A\in A_0\)，容易验证\(b_A\)就是\(B\)在\(A_0\)中的上确界。由此可知，\(A_0\)关于\(<_{A_0}\)具有上确界性质。

 (b) 我们证明一个更广泛的结论：对于全序集\(A,B\)，若其均满足上确界性质，且\(B\)具有最大元和最小元，则\(A\times B\)关于字典序满足上确界性质。

 设\(C\)为\(A\times B\)的一个非空子集，\(B\)的最小元为\(b_{\mathrm{min}}\)。若\(C\)存在上界\((a_0,b_0)\)，则对于集合\(C_1 = \{a|(a,b)\in C\}\)，其在\(A\)中有上界\(a_0\)，故有上确界\(a'\)。若\(a'\notin C_1\)，考虑\((a',b_{\mathrm{min}})\)，下面证明\((a',b_{\mathrm{min}})\)是\(C\)的上确界。结合\(a'\notin C_1\)以及\(a'\)的上界性质可知，对于所有\(a\in C_1\)，\(a'>_A a\)，故\((a',b_{\mathrm{min}})\)为\(C\)的上界。若\((a,b) < (a',b_{\mathrm{min}})\)，必然有\(a<_Aa'\)，结合\(a'\)的上确界性质可知，存在\(a''\in C_1\)，有\(a'' >_A a\)，那么\((a,b)\)不是\(C\)的上界。

 若\(a'\in C_1\)。令\(C_2 =\{b|(a',b)\in C\}\)。由于\(B\)具有最大元，故\(C_2\)在\(B\)中一定具有上界，进而具有上确界\(b'\)，下面我们证明\((a',b')\)是\(C\)的上确界。对于任意\((a,b)\in C\)，由\(a'\)的上界性质可知\(a'\geqslant_{A} a\)。若\(a=a'\)，结合\(b'\)的上界性质可知，\(b'\geqslant_B b\)，故\((a',b')\)为\(C\)的上界。若\((a,b)<(a',b')\)，当\(a<_A a'\)时，由\(a'\)的上确界性质可知，存在\(a''\in C_1\)，使得\(a''>_Aa\)，故\((a,b)\)不是\(C\)的上界。若\(a=a'\)，则\(b<_B b'\)，由\(b'\)的上确界性质可知，存在\(b''\in C_2\)，使得\(b''>_B b\)，那么\((a,b)\)不是\(C\)的上界。

 综上可知，\(A\times B\)关于字典序满足上确界性质。结合该结论，我们可以判断\([0,1]\times[0,1]\)和\([0,1)\times [0,1]\)满足上确界性质。

 下面我们证明，\([0,1]\times [0,1)\)不满足上确界性质。考虑集合\(A=\{\frac{1}{2}\}\times [0,1)\)，其显然存在上界。设其上确界为\((a,b)\)，则有\(a\geqslant\frac{1}{2}\)。若\(a>\frac{1}{2}\)，则存在\(a'\)，使得\(a>a'>\frac{1}{2}\)，那么\((a',0)\)是比\((a,b)\)更小的上界，矛盾。若\(a=\frac{1}{2}\)，则对于任意\(y\in[0,1)\)，应有\(b\geqslant y\)，但\([0,1)\)无最大值，矛盾。综上可知，\([0,1]\times [0,1)\)不满足上确界性质。

$\square$