证明-良序集

 1. 如果\(A\)和\(B\)是良序集，则\(A\times B\)在字典序下是一个良序集。

 证明 对\(A\times B\)的任意非空子集\(C\)，取其所有元素的一个坐标组成集合\(D\)。由\(A\)的良序性可知，存在\(D\)的最小元\(a_0\)。构造集合\(E=\{b|a_0\times x\in C\}\)。则由\(a_0\)的定义可知\(E\)非空，且由\(B\)的良序性可知，存在\(E\)的最小元\(b_0\)。易验证\(a_0\times b_0\)即为\(C\)的最小元。

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