习题-基本概念

习题

 1. 验证集合运算\(\cup\)与\(\cap\)的分配律及DeMorgan定律。

 2. 对于所有集合\(A,B,C,D\)，判定下面的哪些结论为真。如果相互蕴含关系不成立，判定有哪一种蕴含关系。如果等号不成立，判定用包含关系\(\subset\)或\(\supset\)代替等号时，相应的表达是否成立？
 (a) \(A\subset B\)和\(A\subset C\iff A\subset (B\cup C)\)；
 (b) \(A\subset B\)或\(A\subset C\iff A\subset (B\cup C)\)；
 (c) \(A\subset B\)和\(A\subset C\iff A\subset (B\cap C)\)；
 (d) \(A\subset B\)或\(A\subset C\iff A\subset (B\cap C)\)；
 (e) \(A-(A-B)=B\)；
 (f) \(A-(B-A)=A-B\)；
 (g) \(A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)\)；
 (h) \(A\cup(B-C)=(A\cup B)-(A\cup C)\)；
 (i) \((A\cap B)\cup(A-B)=A\)；
 (j) \(A\subset C\)并且\(B\subset D\Longrightarrow (A\times B)\subset(C\times D)\)；
 (k) (i)的逆；
 (l) (j)的逆，假定\(A\)和\(B\)为非空集合；
 (m) \((A\times B)\cup(C\times D)=(A\cup C)\times(B\cup D)\)；
 (n) \((A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D)\)；
 (o) \(A\times(B-C)=(A\times B)-(A\times C)\)；
 (p) \((A-B)\times(C-D)=(A\times C-B\times C)-(A\times D)\)；
 (q) \((A\times B)-(C\times D)=(A-C)\times(B-D)\)。

 3. (a) 已知论断：“若\(x<0\)，则\(x^2-x>0\)。”。试写出其逆否命题和逆命题，并判定三个论断中哪一个（如果有的话）是真命题。
 (b) 将上述论断换成：“\(x>0\)，则\(x^2-x>0\)。”。考虑与(a)小题相仿的问题。

 4. 设\(A,B\)为实数集，写出下列每一个论断的否论断：
 (a) 对于任何\(a\in A\)，有\(a^2\in B\)；
 (b) 存在一个\(a\in A\)，有\(a^2\in B\)；
 (c) 对于任何\(a\in A\)，有\(a^2\notin B\)；
 (d) 存在一个\(a\notin A\)，有\(a^2\in B\)。

 5. 设\(\mathcal{A}\)是集的一个非空族。试判定下列每一个论断及其逆论断的真与假。
 (a) \(x\in\bigcup\limits_{A\in\mathcal{A}}\Longrightarrow\)至少存在一个\(A\in\mathcal{A}\)，使得\(x\in A\)；
 (b) \(x\in\bigcup\limits_{A\in\mathcal{A}}\Longrightarrow\)对于任意\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\in A\)；
 (c) \(x\in\bigcap\limits_{A\in\mathcal{A}}\Longrightarrow\)至少存在一个\(A\in\mathcal{A}\)，使得\(x\in A\)；
 (d) \(x\in\bigcap\limits_{A\in\mathcal{A}}\Longrightarrow\)对于任意\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\in A\)。

 6. 写出习题5中每一个论断的逆否论断。

 7. 已知集合\(A,B,C\)，将下面每一个集合用集合\(A,B,C\)及符号\(\cup,\cap\)一并表示出来。

\[\begin{gathered} D=\{x|x\in A\text{并且}(x\in B\text{或者}x\in C)\}\\ E=\{x|(x\in A\text{并且}x\in B)\text{或者}x\in C\}\\ F=\{x|x\in A\text{并且}(x\in B\Longrightarrow x\in C)\} \end{gathered} \]

 8. 若集合\(A\)有两个元素，证明\(\mathcal{P}(A)\)有四个元素。如果\(A\)分别为单元素集、三元素集、空集，\(\mathcal{P}(A)\)又各有多少元素？为什么\(\mathcal{P}(A)\)称为\(A\)的幂集？

 9. 对于任意“并”和任意“交”，陈述和证明DeMorgan定理。

 10. 设\(\mathbb{R}\)为实数集，试判定\(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\)的下述子集中的哪一个是\(\mathbb{R}\)的两个子集的笛卡尔积。
 (a) \(\{(x,y)|x\text{为整数}\}\)；
 (b) \(\{(x,y)|0<y<1\}\)；
 (c) \(\{(x,y)|y>x\}\)；
 (d) \(\{(x,y)|x\text{不是整数并且}y\text{是一个整数}\}\)；
 (e) \(\{(x,y)|x^2+y^2<1\}\)。

解答

 1. 解 先验证\(\cup,\cap\)的分配律

\[\begin{gathered} A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\\ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) \end{gathered} \]

 对第一分配律，我们有\(A\cap(B\cup C)=\{x|x\in A\text{且}(x\in B\text{或}x\in C)\}=\{x|(x\in A\text{且}x\in B)\text{或}(x\in A\text{且}x\in C)\}=(A\cap B)\cup(A\cup C)\)。

 对第二分配律，我们有\(A\cup(B\cap C)=\{x|x\in A\text{或}(x\in B\text{且}x\in C)\}=\{x|(x\in A\text{或}x\in B)\text{且}(x\in A\text{或}x\in C)\}=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)。

 现验证DeMorgan定理

\[\begin{gathered} A-(B\cup C) = (A-B)\cap(A-C)\\ A-(B\cap C) = (A-B)\cup(A-C) \end{gathered} \]

 对第一个等式，有

$$ \begin{aligned} A-(B\cup C) &= \{x|x\in A\text{且}x\notin B\cup C\}\\ &=\{x|x\in A\text{且}(x\notin B \text{且} x\notin C)\}\\ &=\{x|(x\in A\text{且}x\notin B)\text{且}(x\in A\text{且}x\notin C)\}\\ &=(A-B)\cap(A-C) \end{aligned} $$

 对第二个等式，有

$$ \begin{aligned} A-(B\cap C)&=\{x|x\in A\text{且}x\notin B\cap C\}\\ &=\{x|x\in A\text{且}(x\notin B \text{或} x\notin C)\}\\ &=\{x|(x\in A\text{且}x\notin B)\text{或}(x\in A\text{且}x\notin C)\}\\ &=(A-B)\cup(A-C) \end{aligned} $$

 2. 解 (a) 考虑\(A=\{a\},B=\{a,b\},C=\{c\}\)可知向左的蕴含关系不成立。可以证明向右的蕴含关系成立，因为

$$A\subset B\text{和}A\subset C\Longrightarrow \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\text{且}x\in C\Longrightarrow \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\text{或}x\in C\Longrightarrow\text{若}x\in A,\text{则}x\in B\cup C\Longrightarrow A\subset (B\cup C)$$

 (b) 可以证明相互蕴含关系成立，因为

$$A\subset B\text{或}A\subset C\iff \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\text{或}x\in C\iff \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\cup C \iff A\subset (B\cup C)$$

 (c) 可以证明相互蕴含关系成立，因为

$$A\subset B\text{和}A\subset C\iff \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\text{且}x\in C\iff \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\cap C \iff A\subset (B\cap C)$$

 (d) 考虑\(A=\{a\},B=\{a,b\},C=\{b,c\}\)可知向右的蕴含关系不成立。可以证明向左的蕴含关系成立，因为

$$A\subset (B\cap C)\Longrightarrow \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\cap C \Longrightarrow \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\text{且}x\in C\Longrightarrow \text{若}x\in A,\text{则}x\in B\text{或}x\in C\Longrightarrow A\subset B\text{或}A\subset C$$

 (e) 考虑\(A=\{a,b\},B=\{b,c\}\)可知等号不成立。可证明\(A-(A-B)\subset B\)，因为

$$ \begin{gathered} x\in A-(A-B)\Longrightarrow x\in A\text{且}x\notin A-B\Longrightarrow x\in A\text{且}((x\in A-B)\text{的否定})\Longrightarrow\\ x\in A\text{且}((x\in A\text{且}x\notin B)\text{的否定})\Longrightarrow x\in A\text{且}(x\notin A\text{或} x\in B)\Longrightarrow x\in A\text{且}x\in B\Longrightarrow x\in B \end{gathered} $$

 (f) 考虑\(A=\{a,b\},B=\{b,c\}\)可知等号不成立。可证明\(A-(B-A)\supset A-B\)，因为

$$ \begin{gathered} x\in A-(B-A)\iff x\in A\text{且} x\notin B-A \iff x\in A\text{且}((x\in B-A)\text{的否定})\iff\\ x\in A\text{且}((x\in B\text{且}x\notin A)\text{的否定})\iff x\in A\text{且}(x\notin B\text{或}x\in A)\iff x\in A \end{gathered} $$

这说明\(A-(B-A)=A\)。那么有

$$x\in A-B\Longrightarrow x\in A\text{且}x\notin B \Longrightarrow x\in A\Longrightarrow x\in A-(B-A)$$

 (g) 可证明等号成立，因为

$$ \begin{gathered} x\in (A\cap B)-(A\cap C)\iff x\in A\cap B\text{且}x\notin A\cap C\iff x\in A\cap B\text{且}((x\in A\cap C)\text{的否定})\iff\\ (x\in A\text{且}x\in B)\text{且}((x\in A\text{且}x\in C)\text{的否定})\iff (x\in A\text{且}x\in B)\text{且}(x\notin A\text{或}x\notin C)\iff\\ x\in A\text{且}x\in B\text{且}x\notin C\iff x\in A\text{且}x\in B-C\iff x\in A\cap(B-C) \end{gathered} $$

 (h) 考虑\(A=\{a\},B=\{b\},C=\{c\}\)可知等号不成立。可证明\(A\cup(B-C)\supset (A\cup B)-(A\cup C)\)，因为

$$ \begin{gathered} x\in (A\cup B)-(A\cup C)\Longrightarrow x\in A\cup B\text{且}x\notin A\cup C\Longrightarrow x\in A\cup B\text{且}((x\in A\cup C)\text{的否定})\Longrightarrow\\ (x\in A\text{或}x\in B)\text{且}((x\in A\text{或}x\in C)\text{的否定})\Longrightarrow (x\in A\text{或}x\in B)\text{且}(x\notin A\text{且}x\notin C)\Longrightarrow\\ x\notin A\text{且}x\in B\text{且}x\notin C\Longrightarrow x\notin A\text{且}x\in B-C\Longrightarrow x\in B-C\Longrightarrow x\in A\text{或}x\in B-C\Longrightarrow\\ x\in A\cup(B-C) \end{gathered} $$

 (i) 可证明等号成立，因为

$$ \begin{gathered} x\in(A\cap B)\cup (A-B)\iff x\in A\cap B\text{或}x\in A-B \iff (x\in A\text{且}x\in B)\text{或}(x\in A\text{且}x\notin B)\iff\\ (x\in A\text{或}(x\in A\text{且}x\notin B))\text{且}(x\in B\text{或}(x\in A\text{且}x\notin B))\iff x\in A\text{且}(x\in A\text{或}x\in B)\iff x\in A \end{gathered} $$

 (j) 可证明蕴含关系成立，因为当\(A\subset C\)并且\(B\subset D\)时

$$(x,y)\in (A\times B)\Longrightarrow x\in A\text{且}y\in B\Longrightarrow x\in C\text{且}y\in D\Longrightarrow (x,y)\in (C\times D)$$

 (k) 考虑\(A=\varnothing,B=\{b\},C=\{c\},D=\{d\}\)可知蕴含关系不成立。

 (l) 可证明蕴含关系成立，因为

$$(A\times B)\subset(C\times D)\iff \text{若}(x,y)\in A\times B,\text{则}(x,y)\in C\times D\iff \text{若}x\in A\text{且}y\in B,\text{则}x\in C\text{且}y\in D$$

 对任意\(x\in A\)，由于\(B\)非空，存在\(y_0\in B\)，那么\(x\in A\)且\(y_0\in B\)。由上述等价论断可知\(x\in C\)且\(y_0\in D\)，故\(A\subset C\)。

 类似地，对任意\(y\in B\)，由于\(A\)非空，存在\(x_0\in A\)，那么\(x_0\in A\)且\(y\in B\)。由上述等价论断可知\(x_0\in C\)且\(y\in D\)，故\(B\subset D\)。

 (m) 考虑\(A=\{a\},B=\{b\},C=\{c\},D=\{d\}\)可知等号不成立。可证明\((A\times B)\cup(C\times D)\subset (A\cup C)\times(B\cup D)\)，因为

$$ \begin{gathered} (x,y)\in(A\times B)\cup(C\times D) \Longrightarrow (x,y)\in A\times B\text{或}(x,y)\in C\times D\Longrightarrow (x\in A\text{且}y\in B)\text{或}(x\in C\text{且}y\in D)\Longrightarrow\\ (x\in A\text{或}x\in C)\text{且}(y\in B\text{或} y\in D)\Longrightarrow x\in A\cup C\text{且}y\in B\cup D\Longrightarrow (x,y)\in (A\cup C)\times (B\cup D) \end{gathered} $$

 (n) 可证明等号成立，因为

$$ \begin{gathered} (x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D)\iff (x,y)\in A\times B\text{且}(x,y)\in C\times D\iff (x\in A\text{且} y\in B)\text{且}(x\in C\text{且}y\in D)\iff\\ (x\in A\text{且}x\in C)\text{且}(y\in B\text{且}y\in D)\iff x \in A\cap C\text{且}y\in B\cap D\iff (x,y)\in (A\cap C)\times(B\times D) \end{gathered} $$

 (o) 可证明等号成立，因为

$$ \begin{gathered} (x,y)\in (A\times B)-(A\times C)\iff (x,y)\in A\times B\text{且}(x,y)\notin A\times C\iff (x\in A\text{且}y\in B)\text{且}(x\notin A\text{或}y\notin C)\iff\\ x\in A\text{且}(y\in B\text{且}y\notin C)\iff x\in A\text{且}y\in B-C\iff (x,y)\in A\times(B-C) \end{gathered} $$

 (p) 可证明等号成立，因为

$$ \begin{gathered} (x,y)\in (A\times C - B\times C)- (A\times D) \iff (x,y) \in A\times C - B\times C\text{且}(x,y)\notin A\times D\iff\\ ((x,y)\in A\times C\text{且}(x,y)\notin B\times C)\text{且}(x,y)\notin A\times D\iff ((x\in A\text{且}y\in C)\text{且}(x\notin B\text{或}y\notin C))\text{且}(x\notin A\text{或} y\notin D)\iff\\ (x\in A\text{且}x\notin B\text{且}y\in C)\text{且}(x\notin A\text{或} y\notin D)\iff (x\in A\text{且}x\notin B)\text{且}(y\in C\text{且}y\notin D)\iff\\ x\in A-B\text{且}y\in C-D\iff (x,y)\in (A-B)\times(C-D) \end{gathered} $$

 (q) 考虑\(A=\{a,b\},B=\{c,d\},C=\{a\},D=\{c\}\)可知等号不成立。可证明\((A\times B)-(C\times D)\supset (A-C)\times (B-D)\)，因为

$$ \begin{gathered} (x,y)\in (A-C)\times (B-D)\Longrightarrow x\in A-C\text{且}y\in B-D\Longrightarrow (x\in A\text{且}x\notin C)\text{且}(y\in B\text{且}y\notin D)\Longrightarrow \\ (x\in A\text{且}y\in B)\text{且}(x\notin C\text{且} y\notin D)\Longrightarrow (x\in A\text{且}y\in B)\text{且}(x\notin C\text{或} y\notin D)\Longrightarrow (x,y)\in A\times B\text{且}(x,y)\notin C\times D\Longrightarrow\\ (x,y)\in A\times B-C\times D \end{gathered} $$

 3. 解 (a) 逆否论断：“若\(x^2-x\leqslant 0\)，则\(x\geqslant 0\)。”，逆论断：“若\(x^2-x>0\)，则\(x<0\)。”。

 由于\(x^2-x\leqslant 0\)的解集为\([0,1]\)，故逆否论断为真，进而原论断为真。取\(x=2\)可知逆论断不为真。

 (b) 逆否论断：“若\(x^2-x\leqslant 0\)，则\(x\leqslant 0\)。”，逆论断：“若\(x^2-x>0\)，则\(x>0\)。”。

 由于\(x^2-x\leqslant 0\)的解集为\([0,1]\)，故逆否论断不为真，进而原论断不为真。取\(x=-1\)可知逆论断也不为真。

 4. 解 (a) 存在一个\(a\in A\)，有\(a^2\notin B\)。

 (b) 对于任何\(a\in A\)，有\(a^2\notin B\)。

 (c) 存在一个\(a\in A\)，有\(a^2\in B\)。

 (d) 对于任何\(a\notin A\)，有\(a^2\notin B\)。

 5. 解 (a) 逆论断：“至少存在一个\(A\in\mathcal{A}\)，使得\(x\in A\Longrightarrow x\in\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\)。”。

 由任意并的定义可知，原论断和逆论断均为真。

 (b) 逆论断：“对于任意\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\in A\Longrightarrow x\in\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\)。”。

 取\(\mathcal{A}=\{\{a\},\{b\}\}\)可知原论断不为真。对于逆论断，由于\(\mathcal{A}\)非空，则存在一个\(A_0\in\mathcal{A}\)。若逆论断的前提成立，则\(x\in A_0\)，进而\(x\in\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\)。故逆论断为真。

 (c) 逆论断：“存在至少一个\(A\in\mathcal{A}\)，使得\(x\in A\Longrightarrow x\in\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A\)。”。

 由于\(\mathcal{A}\)非空，则存在一个\(A_0\in\mathcal{A}\)。由任意交的定义可知，若原论断的前提成立，则\(x\in A_0\)，故原论断为真。取\(\mathcal{A}=\{\{a,b\},\{a,c\}\}\)可知逆论断不为真。

 (d) 逆论断：“对于任意\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\in A\Longrightarrow x\in\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A\)。”。

 由任意交的定义可知，原论断和逆论断均为真。

 6. 解 (a) 对于任意\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\notin A\Longrightarrow x\notin \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\)。

 (b) 存在一个\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\notin A\Longrightarrow x\notin \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\)。

 (c) 对于任何\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\notin A\Longrightarrow x\notin\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A\)。

 (d) 存在一个\(A\in\mathcal{A}\)，有\(x\notin A\Longrightarrow x\notin\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A\)。

 7. 解  有

\[\begin{gathered} D=A\cap(B\cup C)\\ E=(A\cap B)\cup C \end{gathered} \]

 对于\(F\)，注意到

$$ \begin{gathered} x\in F\iff x\in A\text{且}(x\in B\Longrightarrow x\in C)\iff x\in A\text{且}(x\notin B\text{或}x\in C)\iff x\in A\text{且}((x\in B\text{且}x\notin C)\text{的否定}) \iff\\ x\in A\text{且}x\notin B-C\iff x\in A-(B-C) \end{gathered} $$

 故\(F=A-(B-C)\)

 8. 证明 不妨设\(A=\{a,b\}\)，则\(\mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\)，易知其有4个元素。如果\(A\)分别为单元素集、三元素集、空集，通过穷举可知其各有2、8、1个元素。不难发现，若\(A\)有\(n\)个元素，则\(\mathcal{P}(A)\)有\(2^n\)个元素。在这个意义上，\(\mathcal{P}(A)\)被称为幂集。可以这样证明：每个集合\(A\)的元素关于\(A\)的子集有两种状态：属于或不属于。\(A\)有\(n\)个元素，故一共有\(2^n\)种可能，对应\(2^n\)种不同的子集，则\(\mathcal{P}(A)\)元素的数量为\(2^n\)。

$\square$

 9. 证明 下面证明任意交和任意并的DeMorgan定理：

\[\begin{gathered} A-\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=\bigcap_{B\in\mathcal{B}}(A-B)\\ A-\bigcap_{B\in\mathcal{B}}B=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}(A-B) \end{gathered} \]

 对第一个等式，有

$$ \begin{aligned} A-\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B &= \{x|x\in A\text{且}x\notin \bigcup_{B\in\mathcal{B}}B\}\\ &=\{x|x\in A\text{且对于任何}B\in\mathcal{B},\text{有}x\notin B\}\\ &=\{x|\text{对于任何}B\in\mathcal{B},\text{有}x\in A\text{且}x\notin B\}\\ &=\{x|\text{对于任何}B\in\mathcal{B},\text{有}x\in A-B\}\\ &=\bigcap_{B\in\mathcal{B}}(A-B) \end{aligned} $$

 对第二个等式，有

$$ \begin{aligned} A-\bigcap_{B\in\mathcal{B}}B &= \{x|x\in A\text{且}x\notin \bigcap_{B\in\mathcal{B}}B\}\\ &=\{x|x\in A\text{且存在一个}B\in\mathcal{B},\text{有}x\notin B\}\\ &=\{x|\text{存在一个}B\in\mathcal{B},\text{有}x\in A\text{且}x\notin B\}\\ &=\{x|\text{存在一个}B\in\mathcal{B},\text{有}x\in A-B\}\\ &=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}(A-B) \end{aligned} $$

$\square$

 10. 解 (a) 不难验证，原集合可写成\(\mathbb{Z}\times\mathbb{R}\)，其中\(\mathbb{Z}\)为整数集。

 (b) 不难验证，原集合可写成\(\mathbb{R}\times (0,1]\)。

 (c) 原集合不能写成\(A\times B\)的形式。若能，观察到\((1,2)\)和\((2,3)\)均属于原集合，故\(2\in A\)且\(2\in B\)。由笛卡尔积的定义可知\((2,2)\)应属于原集合，这与原集合的定义矛盾。

 (d) 不难验证，原集合可写成\((\mathbb{R}-\mathbb{Z})\times \mathbb{Z}\)，其中\(\mathbb{Z}\)为整数集。

 (e) 原集合不能写成\(A\times B\)的形式。若能，观察到\((\frac{4}{5},0)\)和\((0,\frac{4}{5})\)均属于原集合，故\(\frac{4}{5}\in A\)且\(\frac{4}{5}\in B\)。由笛卡尔积的定义可知\((\frac{4}{5},\frac{4}{5})\)应属于原集合，这与原集合的定义矛盾。