03 2024 档案
摘要：经典找点问题，如果利用保号性是显然的 已知函数\(f(x)=(m+1-x)e^x-\dfrac{1}{2}me^{2x}-2\) (1)当\(m=2\)，讨论\(f(x)\)的单调性 (2)若\(x=0\)，是\(f(x)\)的极小值点，求\(m\)的取值范围 解 (1)\(m=2,f(x)=(3-
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摘要：常规比值代换，极值点偏移 已知函数\(f(x)=x\ln x-a(2x^2+1)\) (1)若\(a=-1\)，求\(f(x)\)在\(x=-1\)处的切线 (2)若函数\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\) (i)求\(a\)的范围 (ii)证明:\(3x_1-x_2
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摘要：隐零点代换，短除因式分解，计算量偏大 已知\(f(x)=\ln x-ax+a,g(x)=(x-1)e^{x-a}-ax+1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\) (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(g(x)\geq f(x)\) 解 (1)\(\ln x-ax+a\le
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摘要：双切线，同构处理，面积范围，特别地表示直线 已知抛物线\(C_1:y^2=2px(p>0)\)的准线与半椭圆\(C_2:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1(x\leq 0)\)相交于\(A,B\)两点，且\(|AB|=\sqrt{3}\) (1)求抛物线方程 (2)若点\(P\)是半椭圆\(C
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摘要：隐零点代换，短除因式分解，计算量偏大 已知\(f(x)=\ln x-ax+a,g(x)=(x-1)e^{x-a}-ax+1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\) (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(g(x)\geq f(x)\) 解 (1)\(\ln x-ax+a\le
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摘要：简单直白的面积问题 已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左定点合右焦点分别为\(Q,F\)，且\(|QF|=3\)，点\(D(0,1)\)满足\(\overrightarrow{DQ}\cdot\overrightarrow{DF
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摘要：函数\(f(x)=\dfrac{e^x}{x}-a\)的图像与\(x\)轴的两交点为\(A(x_1,0),B(x_2,0)(x_2>x_1)\) (1)令\(h(x)=f(x)-\ln x+x\)，若\(h(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围 (2)证明:\(x_1x_2<1\) (3)证明
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摘要：简单的一道 已知\(f(x)=e^{x+a}-\dfrac{e^2}{2}a^2x(a>0)\) (1)求\(f(x)\)极小值点的最大值 (2)证明:当\(x\geq 0\),\(f(x)>e^x\)恒成立 解 (1)\(f^{\prime}(x)=e^{x+1}-\dfrac{e^2}{2}a^
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摘要：看着吓人，式子变形 设\(f(x)=e^x,g(x)=\ln x\) (1)已知\(e^x\geq kx\geq \ln x\)恒成立，求\(k\)取值范围 (2)已知直线\(l\)与曲线\(f(x),g(x)\)分别切于点\((x_1,f(x_1)),(x_2,g(x_2))\)，其中\(x_1>
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摘要：思路简单，计算量过大的一题，强行堆砌计算量 已知抛物线\(C:y^2=2x\)的焦点为\(F\)，其准线\(l\)与\(x\)轴交于点\(P\)，过点\(P\)的直线与\(C\)交于点\(A,B\)(\(A\)在\(B\)的左侧) (1)若点\(A\)是线段\(PB\)的中点，求\(A\)的坐标 (
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摘要：打开绝对值，隐零点 已知函数\(f(x)=ae^x-\dfrac{1}{x}\) (1)讨论\(f(x)\)零点个数 (2)当\(a>0\)时，\(|f(x)|>1+\ln x\)，求\(a\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=ae^x-\dfrac{1}{x}=0\) 即\(ax=e^{-x}\
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摘要：已知函数\(f(x)=\dfrac{\ln x+1}{x}.g(x)=\dfrac{e^x}{x}\) (1)若对任意\(m,n\in\left(0,+\infty\right)\)都有\(f(m)\leq t\leq g(n)\)，求实数\(t\)的取值范围. (2)若对任意\(x_1,x_2\i
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摘要：简单的参变分离 已知函数$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ (1)讨论\(f(x)\)的最值； (2)若函数\(g(x)=e^x+x^4f(x)-x^2-ax\)有两个零点，求\(a\)的范围 解 (1)\(f(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\) 得\(f^{\p
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摘要：数据不好的斜率定值找定点、隐圆 已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，直线\(l:y=\dfrac{1}{2}x+t\)过\(C\)的左定点与上定点，且\(l\)与两坐标轴围成的三角形面积为\(1\) (1)求\(C\)的标准方程
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摘要：类二次函数与隐零点 已知函数\(f(x)=x(x-3)+(x+2)e^x\) (1)求\(f(x)\)的最小值 (2)若\(g(x)=f(x)+x\left(3-\dfrac{3}{2}x\right)+\ln x+e^x(x^2-3x-1)\)，求\(g(x)\)的零点个数 解 (1)\(f^{\
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摘要：内心向量式、焦半径、焦点弦长 设动点\(M(x,y)\)与定点\(F_2(\sqrt{2},0)\)的距离和它到定直线\(l:x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)的距离比为\(\sqrt{2}\)，记点\(M\)的轨迹为\(C\) (1)求\(C\)的方程 (2)设\(F_1(-\sqrt
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摘要：同构、隐零点 已知函数\(f(x)=x\ln x+(t-1)x-t\) (1)当\(t=0\)，讨论\(f(x)\)的极值 (2)若\(F(x)=f(x)-\dfrac{e^x}{e^t}\)有两个不同的极值点，求\(t\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=x\ln x-x\)，\(f^{\pri
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摘要：同构处理，计算量大，弦长问题 已知\(A(2,2),B,C\)是抛物线\(E:x^2=2py\)上的三点，且\(AB\)与直线\(AC\)的斜率和\(0\) (1)求直线\(BC\)的斜率 (2)若直线\(AB,AC\)均与圆\(M:x^2+(y-2)^2=r^2(0<r<\sqrt{3})\)相切
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摘要：简单的但难于计算的二次函数形双参问题 已知函数\(f(x)=x^2-ax+2\ln x\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)已知\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)且\(x_1<x_2\)，证明:$2f(x_1)-f(x_2)\geq -3\ln 2 $ 解 (1)\(f^{\
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摘要：简单的同构 已知函数\(f(x)=(2-a-ax)e^x\) (1)求\(f(x)\)的单调区间 (2)若\(a=1\)，证明:\(f(x)+e^x\ln(x+1)\leq x+1\) 解 (1)\(f^{\prime}(x)=(2-ax-2a)e^x\) Case1 当\(a=0\)时，\(f(x
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摘要：端点效应与放缩 已知函数\(f(x)=(ax^2+x+a)e^{-x}(a\in\mathbb{R})\) (1)若\(a\geq 0\)，函数\(f(x)\)的极大值为\(\dfrac{3}{e}\)，求\(a\) (2)对任意的\(a\leq 0\),\(f(x)\leq b\ln(x+1)\)
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摘要：放缩找点、多次隐零点代换 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2\left(\ln x-\dfrac{1}{2}\right)+ax(\ln x-1),a\neq 0\) (1)若\(a>0\)，证明:\(f(x)\)有唯一的零点 (2)若\(f(x)>0\)，求实数\(a\)的取值范
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摘要：技巧用全的双变量问题 已知函数\(f(x)=\dfrac{a(x+1)}{e^x}+\ln x\) (1)若\(f(x)\)是单调递增的，求\(a\)的范围 (2)若\(f(x)\)有两个极值点(\(x_1>x_2>0\))，证明:\(a(x_1^2+x_2^2)>2\sqrt{e}\) 解 (1)
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摘要：常规的零点分析 已知函数\(f(x)=\dfrac{ax}{e^x}+\dfrac{1}{2}x^2-x(a>0)\) (1)若\(f(x)<\dfrac{1}{2}x^2-\ln x\)恒成立，求\(a\)的范围 (2)讨论\(f(x)\)的零点个数 解 (1)\(f(x)<\dfrac{1}{2
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摘要：难难难的双参问题 已知函数\(f(x)=\ln(1+x)+\dfrac{x^2}{2}\) (1)当\(x>0\)，比较\(f(x)\)与\(x\)的大小 (2)若函数\(g(x)=\cos x+\dfrac{x^2}{2}\)，且\(f\left(e^{\frac{a}{2}}\right)=g(
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摘要：隐零点的多次转化 已知函数\(f(x)=e^x-a\ln(x+1)\) (1)若\(f(x)\)的最值为\(a\)，求\(a\) (2)当\(a=\dfrac{1}{e^n}(n\in\mathbb{N})\)时，证明：\(f(x)\geq (n+1)a\) 解 (1) 由费马定理，连续函数在开区间
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摘要：稀疏平常的一道比值代换 已知函数\(f(x)=e^x-\dfrac{1}{2}ax^2\) (1)若\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，求\(a\)范围 (2)若\(f(x)\)有两个极值点分别为\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，当\(\lambda>1\)证明:\(
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摘要：洛必达法则 已知定义在\((0,+\infty)\)上的函数\(f(x)=\ln(x+1),g(x)=\sqrt{x}\) (1)证明:\(f(x)<g(x)\) (2)设\(\varphi(x)=\left[\dfrac{4}{g^2(x)}+t\right]f(x)\)在\((0,+\infty
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摘要：双变量的常规处理，但要注意齐次 \(f(x)=\dfrac{a}{x^2}+2\ln x\) (1)求\(f(x)\)单调性 (2)若\(f(x)\)存在两个不同零点，证明：\(x_1f^{\prime}(x_1)+x_2f^{\prime}(x_2)>4\ln\dfrac{a}{2}+4\) 解
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