随笔分类 - 密码学数学基础 / 抽象代数
群、环、域
摘要：域 基本定义 定义：若\(R\)是一个环，并且\(R^*=R\setminus\{0\}\)对于乘法构成一个交换群，则称\(R\)为一个域 定义：交换除环叫作域 定理：域一定是整环 定理：有限整环一定是域 定义：只包含有限个元素的域称为有限域，其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(Galoi
阅读全文
摘要：同构与同态 基本定义 设\(R\)和\(R'\)是两个环，\(f\)是\(R\)到\(R'\)的一个映射，如果\(\forall a,b\in R\),均有: \(f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)\) 则称\(f\)为从\(R\)到\(R'\)的同态映射 分类 若\(
阅读全文
摘要：子环 定义 设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(S\)是\(R\)的非空子集，如果\(S\)关于\(R\)的运算也构成一个环，则称\(S\)为环\(R\)的子环 例：\((m\mathbb{Z},+,\cdot)\)是整数环\(\mathbb{Z}\)的子环，整数环\(\mathbb{Z}
阅读全文
摘要：环 定义 设\(R\)是一个非空集合，在R上定义两种代数运算“+”和“·”，分别被称为加法和乘法，如果下列条件被满足： (1)\((R,+)\)是一个交换群 (2) \(R\)关于乘法“·”，满足结合律，即\(\forall a,b,c\in R\)，有 \[(a·b)·c=a·(b·c) \](3
阅读全文
摘要：元素的阶 定义 设G是一个群，a是G中的一个元素，则子群\(<a>\)的阶称为元素a的阶，记为\(|a|\)或\(ord(a)\) 设G是一个群，a是G中的一个元素，e为单位元，使 \[[ a^k = e ] \]成立的最小正整数\(k\)称为元素\(a\)的阶. 若\(a\)的阶为\(n\)，记为
阅读全文
摘要：置换群 变换群与置换群 设\(X\)为非空集合，集合\(X\)到\(X\)的一对一变换称为双射变换，X上全体双射变换集合记成T(X)。如果X为有限集合，则称T(X)中的元素为X上的置换。 在T(X)中引入一个二元运算$\circ $, \(\forall α,β∈T(X)\)，定义\(α\circ
阅读全文
摘要：同态与同构 群的同态 设\((G,\cdot)\)和\((G', \odot )\)是两个群，若存在映射\(f: G\to G'\)满足：\(\forall a,b\in G\),均有 \[f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b) \]则称\(f\)是\(G\)到\(G'\)的一个同态映
阅读全文
摘要：有限群 群\(G\)的元素个数叫做群\(G\)的阶，记为\(\mid G\mid\)，当\(\mid G\mid\)为有限数时，\(G\)叫做有限群，否则叫做无限群 幂 设\(n\)为正整数，如果\(a_1=a_2=\cdots = a_n=a\),则记\(a_1a_2\cdots a_n = a^
阅读全文
摘要：群 代数运算： 设\(S\)是一非空集合，那么\(S\times S\to S\)的映射叫做\(S\)上的代数运算。该代数运算记为“\(\circ\)”(operator) “\(\circ\)”可为加法、乘法等。 封闭性： 对于运算“\(\circ\)”，\(\forall a,b \in S\)
阅读全文
摘要：代数运算 集合\(A,B,C\),把一个从\(A \times B\) 到\(C\)的代数运算的映射叫做一个从\(A \times B\) 到\(C\)的代数运算，记为 \(\circ\) \(\circ : (a,b) \to c\) \(a \circ b = c\) 如果 \(\circ\)
阅读全文
摘要：加氏积 设\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_n\)是N个集合，一切从中顺序取出的元素组\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\),\(a_i\in A_i\),所组成的集合叫做集合\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_n\)的加氏积，记为\(A_1\ti
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号