抽象代数-04-子群、陪集

有限群

群\(G\)的元素个数叫做群\(G\)的阶，记为\(\mid G\mid\)，当\(\mid G\mid\)为有限数时，\(G\)叫做有限群，否则叫做无限群

幂

设\(n\)为正整数，如果\(a_1=a_2=\cdots = a_n=a\),则记\(a_1a_2\cdots a_n = a^n\),称之为\(a\)的\(n\)次幂，特别定义\(a^0 = e\)为单位元，\(a^{-n} = (a^{-1})^{n}\)。 性质：

\[a^{m}a^{n} = a^{m+n} \]

\[(a^{m})^{n} = a^{mn} \]

元素的阶

设\(G\)是一个群，\(a\)是群\(G\)中一个元素，\(e\)为单位元
使\(a^k = e\)成立的最小正整数\(k\)称为元素\(a\)的阶，若\(a\)的阶为\(n\),记为：\(\mid a \mid = ord(a) = n\)，若不存在整数\(k\)满足上述条件，则称\(a\)的阶为无穷大，记为\(\mid a \mid = \infty\)

子群

设集合\(H\)是群\(G\)的一个子集，如果对于群\(G\)的运算，\(H\)构成一个群，则称\(H\)为\(G\)的子群，记作：\(H \leq G\)
一个群至少有两个子群：\(G\)本身；只包含单位元的子集\(\{e\}\)，它们称为的平凡子群，其它子群称为真子群
定理设\(H\)是\(G\)子群，则\(H\)中的单位元和任意元素的逆元就是\(在G\)中的单位元和逆元。

子群的判定定理

\(H\)是群\(G\)的一个非空子集，则\(H\)是群\(G\)的子群的充分必要条件是：

\[\forall a,b \in H,ab^{-1}\in H \]

陪集

设\(H\)是\(G\)的一个子群，对于\(\forall a \in G\)，集合\(aH = \{ah|h\in H\}\)，为群\(G\)关于子群的一个左陪集，同样定义右陪集
\(a\)称为代表元，如果\(aH=Ha\)，则\(aH\)叫做\(G\)中\(H\)的陪集

陪集的性质

定理：设\(H\)是群\(G\)的子群，则\(\forall a,b \in G,Ha = Hb\)，与下面两个等价
(1)\(a \in Hb\)
(2)\(ab^{-1} \in H\)
定理：设\(H\)是群\(G\)的子群，\(a,b\in G\)则
(1)\(a\in Ha\)
(2)\(Ha = Hb\) 或者 \(Ha \cap Hb = \varnothing\)
(3)\(G = \bigcup_{a\in G}Ha\)

指数

设H是群G的子群，则H在G中不同左(对应右)陪集组成的新集合
\(\{aH\mid a\in G\}\)(对应地\(\{Ha\mid a\in G\}\))
叫做H在G中的商集，记作G/H，
\(G/H=\{aH\mid a\in G\}\)，
G/H中不同左(对应右)陪集的个数叫做H在G中的指数，记为\([G:H]\)。
引理：设\(H\)为\(G\)子群，则\(H\)与\(H\)的任意一个右陪集\(Ha\)之间都存在双射

Lagrange定理

设 $ H$ 是有限群 $ G$ 的一个子群，则
$ |G| = |H| \cdot [G : H]$
更进一步，如果 $ K, H$ 是群 $ G$ 的子群，且 $ K$是 $ H$ 的子群，则
$ [G : K] = [G : H] \cdot [H : K]$

推论 2.1

设 $ G$ 为有限群，则 \(\forall a \in G\)，其阶 \(\mid m\mid\) 是 $ |G|$ 的因子，即
$ |a| \mid |G|$

推论 2.2

设 $ H$ 是有限群 $ G$ 的子群，则
$ |H| \mid |G|$

推论 2.3

设 $ G$ 为 \(n\)阶有限群，则对 \(G\) 中任意元素 \(g\)，有$ g^n = e$

正规子群

对于\(\forall a \in G，有aH = Ha\)，称\(H\)为\(G\)的正规子群,记为：\(H\triangleleft G\)
注意：单位元生成的子群\(\{e\}\)，以及群\(G\)本身，是两个平凡正规子群。当 \(G\) 是Abel群时，它的任意子群都是正规子群

正规子群的判断

设H是群G的子群，则以下条件是等价的
(1)对任意\(a\in G\)有\(aH=Ha\);
(2)对任意\(a\in G,h\in H\)，有\(aha^{-1}\in H\);
(3)对任意\(a\in G\)，有\(aHa^{-1}\subset H\)
(4)对任意\(a\in G\)，有\(aHa^{-1}=H\)

商群

设\(H\)是群\(G\)的正规子群，\(G/H = \{aH|a\in G\}\)是由\(H\)在\(G\)中的全部不同陪集组成的集合，在\(G/H\)定义运算：

\[(aH)(bH) = (ab)H \]

则\(G/H\)在该运算下构成一个群
群\(G/H\)称为\(G\)关于正规子群\(H\)的商群