抽象代数-02-代数系统

代数运算

集合\(A,B,C\),把一个从\(A \times B\) 到\(C\)的代数运算的映射叫做一个从\(A \times B\) 到\(C\)的代数运算，记为 \(\circ\)
\(\circ : (a,b) \to c\)
\(a \circ b = c\)
如果 \(\circ\) 是 \(A \times A\)到\(A\)的代数运算，我们就说，集合\(A\)对于代数运算\(\circ\)来说是封闭的，或者说\(\circ\)是\(A\)的代数运算或二元运算

结合律

\(\circ\)是\(A\)的代数运算，对于\(\forall a,b,c \in A\),如果\((a\circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\),则称代数运算适合结合律，记\(a\circ b \circ c = (a\circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)，如果结合律不成立，符号\(a\circ b \circ c\)无意义。

交换律

\(\circ 为 A \times A 到 D\)的代数运算，如果$ a \circ b = b \circ a$ 就说代数运算\(\circ\)适合交换律

分配律

第一分配律
集合 \(A\), \(B\) 定义了以下这两个代数运算 \(\otimes\) 和 \(\oplus\):
\(\otimes\) 是一个 \(B \times A\) 到 \(A\) 的代数运算;
\(\oplus\) 是一个 \(A\) 的代数运算.
如果对于任意 \(b \in B\) 和 \(a_1, a_2 \in A\), 下式总成立
$ b \otimes (a_1 \oplus a_2) = (b \otimes a_1) \oplus (b \otimes a_2), $
则称代数运算 \(\otimes\) 和 \(\oplus\) 适合第一分配律.

定理
假如 \(\oplus\) 适合结合律，而且 \(\otimes\) 和 \(\oplus\) 适合第一分配律，那么对于 \(B\) 的任意元素 \(b\)，\(A\) 的任意 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 有
$ b \otimes (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n) = (b \otimes a_1) \oplus (b \otimes a_2) \oplus \cdots \oplus (b \otimes a_n). $
第二分配律
定义
集合 ( A, B ) 定义了以下这两个代数运算 \(\otimes\) 和 \(\oplus\)：

1. \(\otimes\) 是一个 $ A \times B $ 到 $ A $ 的代数运算；
2. \(\oplus\) 是一个 $ A $ 的代数运算。

如果对于任意 $ b \in B $ 和 \(a_1, a_2 \in A\)下式总成立：
\( (a_1 \oplus a_2) \otimes b = (a_1 \otimes b) \oplus (a_2 \otimes b), \)
则称代数运算 \(\otimes\) 和 \(\oplus\) 适合第二分配律。
定理
假如 \(\oplus\) 适合结合律，而且 \(\otimes\)和 \(\oplus\) 适合第二分配律，那么对于 \(B\) 的任意 \(b\)，\(A\) 的任意 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 来说，
\( (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n) \otimes b = (a_1 \otimes b) \oplus (a_2 \otimes b) \oplus \cdots \oplus (a_n \otimes b). \)

二元关系

\(A \times B\)的子集\(R\)叫做\(A, B\)间的一个二元关系
当\((a, b) \in R\)时, 说\(a\)与\(b\)具有关系, 记为\(aRb\);
当\((a, b) \notin R\)时, 说\(a\)与\(b\)不具有关系, 记为\(aR'b\)
\(A \times A\)的任何一子集\(R\)称为集合\(A\)上的一二元关系
等价关系是一种特殊的二元关系, 我们用“\(\sim\)”来表示
定义:
若\(R \subseteq A \times A\), 且\(R\)满足如下条件:

1. 自反性: \((a, a) \in R\)
2. 对称性: \((a, b) \in R\), 则\((b, a) \in R\)
3. 传递性: \((a, b) \in R\), \((b, c) \in R\), 则\((a, c) \in R\)
   那么我们称\(R\)为一个等价关系.
   比如模\(m\)的同余关系是一个等价关系.

如果 \(R\) 为一个等价关系, 若 $ (a, b) \in R, $ 则称 $ a $ 与 $ b $ 等价, 记为 \(a \sim b. \)

若已知 $ R $ 是 $ A$ 上的一个等价关系, 集合 $ x$ = \(\{ y | y \in A, (x, y) \in R \}\) 称为由 $ x $ 决定的等价类
性质
$ R$ 是 $A $ 上一个等价关系，任意 \(x, y \in A\)有
$ x = y $或 $ x \cap y = \varnothing $
定义
设 \(\{B_i, i \in I\}\) 为集合 $ A $ 的子集族，满足以下两个条件：

1. $ A = \bigcup_{i \in I} B_i $;
2. 对于任意的 \(i,j \in I\), 有\(B_i \cap B_j = \varnothing\)

称 \(\{B_i, i \in I\}\) 为集合 $ A $ 的一个分类。

定理:
给定集合 $ A $ 的一个分类决定 $ A $ 的一个等价关系；反之，给定集合 $ A $的一个等价关系决定 $ A $ 的一个分类。