抽象代数-05-同态与同构

同态与同构

群的同态

设\((G,\cdot)\)和\((G', \odot )\)是两个群，若存在映射\(f: G\to G'\)满足：\(\forall a,b\in G\),均有

\[f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b) \]

则称\(f\)是\(G\)到\(G'\)的一个同态映射或简称同态。
如果\(f\)是单射，则称\(f\)是单同态；
如果\(f\)是满射，则称\(f\)是满同态；
如果\(f\)是一一映射，则称\(f\)是同构，记为\(G\cong G'\)；
如果\(G=G'\)，同态\(f\)称为自同态，同构映射\(f\)称为自同构；
\(Im\)(\(f\))=\(f(G)\)={\(f(a)|a\in G\)}称为群\(G\)的同态像；

同态核

\(ker f=\{a|a\in G,f(a)=e'\} = f^{-1}(e')\) ,称为同态\(f\)的同态核。
同态核\(K=Ker(f)\)就是单位元\(e'\)的全原像，它是一个子群，具有以下性质：

\[\forall a'\in Im(f),若f(a)=a',则f^{-1}(a')=aK \]

\[f是单同态 \Leftrightarrow K={e} \]

同态基本定理

(自然同态):设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的正规子群，则\(G\)与它的商群\(G/H\)同态，称为自然同态。
(同态基本定理):设\(f\)是群\(G\to G'\)的一个满同态映射，\(K=Ker(f)\)，则\(K\)是\(G\)的一个正规子群，且\(G/K\cong G'\)。设φ是\(G\to G/K\)的自然同态，则存在\(G/K\to G'\)的同构\(\sigma\)，使\(f=\sigmaφ\)

选学部分

有关同态的定理

子群对应定理

商群同构定理

第二同构定理

自同态与自同构