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P12693 BZOJ3589 动态树（求并集转化为区间覆盖问题） P3703 [SDOI2017] 树点涂色（分讨维护树上颜色段） 对于操作 2，显然因为每次都是染全新的颜色，而且只在 \(x\) 到根节点上，所以这个操作直接按照树上差分的逻辑，答案即为 \(dis_x+dis_y-dis_{lc 阅读全文
posted @ 2026-08-14 21:38
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普通型生成函数 定义 生成函数的本质是，用一个多项式的系数表示一个数列，将数列的组合关系转化为多项式的代数运算。 对于数列 \(\{a_n\}\)，其普通型生成函数（OGF）为： \[A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]常见数列的 OGF（以下列出的均为封闭形式 阅读全文
posted @ 2026-08-10 15:11
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A - ABC020D \[\sum_{i=1}^N \operatorname{lcm(i,k)} \\ = \sum_{i=1}^N \frac{ik}{\gcd(i,k)} \\ = k \sum_{i=1}^N \frac{i}{\gcd(i,k)} \\ = k \sum_{d \mid 阅读全文
posted @ 2026-08-10 11:57
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指数型生成函数 前置知识：泰勒展开 一个连续且可导的函数，可以用一个无穷次多项式在某一点附近还原。 以 \(x=0\)（麦克劳林级数）为例，可得如下表达式： \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \]由于 \((e^x)^{(n 阅读全文
posted @ 2026-08-09 19:38
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杜教筛 简介 杜教筛是一种亚线性的数论函数前缀和算法，它利用狄利克雷卷积构造递推式，配合整除分块与记忆化搜索，可做到 \(O(n^{2/3})\) 的时间复杂度。 其核心思想是构造两个辅助函数 \(g,h\)，满足 \(h=f*g\)，且 \(h,g\) 的前缀和容易计算，从而通过卷积恒等式推导出 阅读全文
posted @ 2026-08-06 22:55
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得分：105/400，排名未知。 A 得分：65/100。 错因：没有运用解耦的思想（\(d | \gcd(i,j)\) 等价于 \(d | i 且 d | j\)），交换求和顺序不熟练。 正解： \[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n) \\ =\sum_{i=1}^n \sum_{d|\ 阅读全文
posted @ 2026-08-05 19:26
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积性函数与狄利克雷卷积 什么是卷积？ 将两个函数复合后生成新函数的运算。 所谓复合，就是将两个函数对应位置的值进行一定的运算后得到新函数对应位置的值，具体见下文。 事实上，卷积是一种高等数学的代数语言。它不仅能够简化初等数学的代数推导，而且能解释 \(\mu(n),\varphi(n)\) 等数论函 阅读全文
posted @ 2026-08-03 23:50
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Mobius 反演 前置知识：线性筛 解决的问题 将「gcd 恰好为 XX」转化为「gcd 为 XX 的倍数」，结合整除分块做到 \(O(\sqrt{n})\)。 我们一般定义： \(f(n)\) 表示恰好满足条件的方案数 \(F(n)\) 表示 \(n\) 的倍数时满足条件的方案数 显然有 \(F 阅读全文
posted @ 2026-08-01 23:01
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