莫反小测试

得分：105/400，排名未知。

A

得分：65/100。

错因：没有运用解耦的思想（\(d | \gcd(i,j)\) 等价于 \(d | i 且 d | j\)），交换求和顺序不熟练。

正解：

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n) \\ =\sum_{i=1}^n \sum_{d|\gcd(i,n)} \varphi(d) \\ = \sum_{d|n} \varphi(d) \sum_{i=1,d|i} 1 \\ = \sum_{d|n} \varphi(d) \cdot \frac{n}{d} \]

B

得分：40/100

错因：没有想到枚举倍数转化为整除分块，分类讨论不熟练。

正解：

由题目易得 \(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor = \frac{a}{b+1}\)，因为 \(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\) 为整数，则 \(b+1|a\)。

这个式子很像整除分块，考虑枚举 \(b+1\) 的倍数，则满足条件的 \(a\) 即为 \(\sum_{b=1}^y \lfloor \frac{x}{b+1} \rfloor\)，于是做完了......吗？

我们注意到 \(a\) 具有隐含的上界，即 \(\frac{a}{b+1} < b \Rightarrow a < b^2 + b\)，故 \(a \in [1,b^2+b-1]\)。

因此，原先的式子应当变为 \(\sum_{b=1}^y \lfloor \frac{\min(x,b^2+b-1)}{b+1} \rfloor\)，这可咋办？

为了去掉这个烦人的 \(\min\) ，我们只好分类讨论：对于 \(b^2+b-1<x\)，分子取到 \(b^2+b-1\)，直接累加即可；否则，分子取到 \(x\)，用整除分块做。

C

错因：没有从无解的情形出发推理，对整除、莫反模型不够敏感，没有接触过“和为XX”这类的方案数统计问题。

当 \(x \nmid y\)，显然无解，因为每个数都得是 \(x\) 的倍数。

当 \(x \mid y\)，考虑到我们更喜欢 \(\gcd=1\) 的形式，因此将 \(y\) 除掉 \(x\)，得到新的两条限制：\(\sum a_i = \frac{y}{x}, \gcd\{a_i\} = 1\)。

开始莫反。以下，令 \(S=\frac{y}{x}\)：

1. 钦定 \(f(k)\) 表示和为 \(S\)，\(\gcd\) 恰好为 \(k\) 的方案数。

2. 钦定 \(F(k)\) 表示和为 \(S\)，\(\gcd\) 为 \(k\) 的倍数的方案数。

倍数形式的正变换显然满足，思考 \(F(k)\) 的求取。

\(\gcd\) 为 \(k\) 的倍数，意味着 \(k\) 需要整除每个 \(a_i\)（这两个条件完全等价）。我们不妨将所有 \(a_i\) 除以 \(k\)，这样就消除了这个限制，\(F(k)\) 变成了和为 \(\frac{S}{k}\) 的数列的方案数。

这里介绍“和为XX”这类的方案数统计问题的一般方法：运用插板法，假设有 \(S\) 个 \(1\)，每个空插板，可以选择插或不插，则方案数即为 \(2^{S-1}\)。

于是，这里的 \(F(k)\) 就是 \(2^{\frac{S}{k}-1}\)。套入逆变换求出 \(f(1)\) 即为答案。

D

错因：这类格点计数问题做少了。

这种计数问题有个一般结论：设一条线距离最远的两个格点的横坐标距离为 \(i\)，纵坐标距离为 \(j\)，则这条线段上的格点数目为 \(\gcd(i,j)+1\)。

证明：从向量的角度出发，由线段的一端到另一端的有向线段可表示为 \((i,j)\)，令 \(d=\gcd(i,j)\)，则这个向量空间的最小基底就是 \((\frac{i}{d},\frac{j}{d})\)，于是 \((i,j)\) 就可以被划分为 \(d\) 段，格点数自然就是 \(d+1\)（加上起点）。

然后这个题的话就是先考虑行、列的贡献，再考虑斜率为正的线段的贡献（斜率为负的乘以 \(2\) 即可），可得到式子：

\[Ans = n {m \choose 3} + m {n \choose 3} + 2(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n-i)(m-j)(\gcd(i,j)-1)) \]

斜率为正的线段是这么考虑的：先枚举行列差，行 \(n-i\) 种选择，列 \(m-j\) 中选择（可以理解为在 \(1 \sim n\) 中选一个长度为 \(i\) 的子串），再乘上中间的格点数目（选一个）。

然后把 \(\gcd(i,j)-1\) 那里用分配律拆开，分别考虑减数和被减数即可，这是很套路的部分，就不展开叙述了。

总结

交换求和顺序：

• 最里面有 \(\varphi,\mu\) 之类的，先直接提到最外边，从 \(1 \to n\) 加和。

• 能提出来的尽量往外提。

• 交换后注意系数。（关注你到底要求什么）

• 枚举倍数。

重要的等式：

• \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij = \sum_{i=1}^n i \sum_{j=1}^n j\)

• \(\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n ij = (n!)^{2n}\)

重要的技巧：

• \(k \mid \gcd(i,j)\) 等价于 \(k \mid i 且 k \mid j\)。

• \(\gcd(i,j) = k\) 的充分不必要条件是 \(k \mid i 且 k \mid j\)，主要用于莫反。

• 学会展开求和式，活用 \(\operatorname{sum}(i) = \frac{i \times (i+1)}{2}\)。