普通型生成函数

普通型生成函数

定义

生成函数的本质是，用一个多项式的系数表示一个数列，将数列的组合关系转化为多项式的代数运算。

对于数列 \(\{a_n\}\)，其普通型生成函数（OGF）为：

\[A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]

常见数列的 OGF（以下列出的均为封闭形式）：

• \(a_n = 1\)：\(A(x) = \frac{1}{1-x}\)

• \(a_n = c^n\)：\(A(x) = \frac{1}{1-cx}\)

• \(a_n = n+1\)：\(A(x) = \frac{1}{(1-x)^2}\)

• \(a_n = {{n+k-1} \choose {k-1}}\)：\(A(x) = \frac{1}{(1-x)^k}\)

• \(F_n\)（斐波那契数列）：\(A(x) = \frac{x}{1-x-x^2}\)

• \(C_n\)（卡特兰数）：\(A(x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)

基本运算

令 \(A(x) = \sum a_n x^n,B(x) = \sum b_n x^n\)。

加法：

\[A(x) + B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) x^n \]

乘法（卷积）：

\[A(x) \cdot B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right) x^n \]

从封闭形式还原系数

• 方法 1：基本公式套用

常用的技巧有：换元法、 平移法。

• 方法 2：分式分解法

适用于分子分母都是多项式的分式。

步骤：

1. 将分母因式分解为一次因式的乘积

2. 设分子为待定常数，将分式分解

3. 通分后对比分子系数，解出待定常数

4. 对每个分式套用基础公式，合并得到系数

• 方法 3：广义二项式定理（重要）

定理的内容如下：

对于任意实数 \(\alpha\)，有

\[(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} {\alpha \choose n} x^n \]

其广义组合数定义为

\[{\alpha \choose n} = \frac{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!} \]

• 方法 4：dp

例题选讲

• P10780 BZOJ3028 食物（生成函数的识别 & 负指数幂的化简）

看到这种多种限制，考虑生成函数。

对于汉堡：\(1+x^2+x^4+... = \frac{1}{1-x^2}\)。

对于可乐：\(1+x\)。

对于鸡腿：\(1+x+x^2\)。

对于蜜桃多：\(x+x^3+x^5+... = x(1+x^2+x^4+...) = \frac{x}{1-x^2}\)。

对于鸡块：\(1+x+x^2+x^3\)。

对于土豆片炒肉：\(1+x\)。

对于面包：\(x^3+x^6+x^9+...=\frac{1}{1-x^3}\)。

相乘，得到 \(ans=\frac{x}{(x-1)^4}\)。

利用基本公式展开（别忘了分子是 \(x\)，求和要从 \(1\) 开始），可得系数为 \({k+1 \choose k-2}\)。

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总结一下，构造生成函数是就是方案数当系数，限制当指数。