随笔分类 -  日常学习 / 微积分学习

应该比线性代数简单吧。。
微积分期末复习
摘要：一 曲面积分 1 第一类曲面积分（按顺序思考） 1.1 解题方法： a.利用对称性化简（轮换对称性也要考虑（x,y,z地位是否相等）） b.化为二重积分，代入S表达式（投影到某个平面） 球的投影（可以作为二级结论记一下） c.形如∫∫f(x)ds （函数里只与单一变量有关） S为XOY平面绕X轴旋转 阅读全文
posted @ 2025-06-03 23:06 Toby0919 阅读(79) 评论(0) 推荐(0)
4.10 高斯公式和斯托克斯公式
摘要：高斯公式：（格林公式的拓展版） 格林公式：平面区域的二重积分转化成边界曲线上的曲线积分 高斯公式：空间区域上的三重积分变成边界曲面上的曲面积分 （注意要是边界曲面的外侧）P,Q,R要具有一阶连续的偏导数 例题： 2 斯托克斯公式 例题： 阅读全文
posted @ 2025-04-10 17:46 Toby0919 阅读(357) 评论(0) 推荐(0)
4.2 第二类曲面积分
摘要：1.1 转化为二重积分 法向量上侧取正，下侧取负（和z轴的夹角是锐角还是钝角） 阅读全文
posted @ 2025-04-02 17:41 Toby0919 阅读(55) 评论(0) 推荐(0)
3.31 格林公式及其应用
摘要：1.1 类比 一元函数的积分可以通过两个边界的函数表示 二元函数的积分就可以通过曲线的积分表示 1.2 例题 例题2（不完全封闭的写法 1.3 挖洞问题 当Q对x的偏导等于P对y的偏导，可能会出现无意义的点（分母为0） 如果有无意义的点，需要挖洞（把无意义的点挖掉）（再设一个尽可能小的圆，使它既满足 阅读全文
posted @ 2025-03-31 23:51 Toby0919 阅读(242) 评论(0) 推荐(0)
3.24 曲线/曲面积分
摘要：1 第一类曲线积分 （理解成求曲线的质量） 要把ds（弧微分）转化成dt(参数方程里面的自变量)（积分里面只留下的变量），也可以转化成dx什么的，注意ds转化成dx的公式 2 第一类曲面积分 还是先求投影，比如投影到xoy平面上，就求z=z(x,y) 2.1 普通对称性 奇函数为0，偶函数*2 2. 阅读全文
posted @ 2025-03-24 22:19 Toby0919 阅读(71) 评论(0) 推荐(0)
3.24 曲面积分
摘要：1 转化成二重积分（先投影） 比如投影到xoy平面： 同样的，还可以投影到另外两个面 https://www.zhihu.com/question/48421749/answer/165585609 阅读全文
posted @ 2025-03-24 13:09 Toby0919 阅读(13) 评论(0) 推荐(0)
3.22 三重积分计算方法
摘要：三重积分的实际意义：计算一个立体的质量（可以） 1 投影法（先一后二）（一个土豆切成土豆丝，最后再累加Dxy平面） 一个立体图形可以看成是两个曲面拼接而成，z=(x,y)可表示一个曲面 假设x和y都是确定的，然后就累加z，最后再算面积分 先假设有一条竖线，注意竖线是从哪里进入，从哪里离开 2 截面法 阅读全文
posted @ 2025-03-22 23:59 Toby0919 阅读(368) 评论(0) 推荐(0)
3.14 二重积分
摘要：1 1.1 概念引入 1.2 分、匀、和、均 分割：把XOY平面分割成若干个小区域，相应的，把柱体分割成n个小的曲顶柱体 取近似：取某一小块的一个点，通过函数关系确定此点的高，体积就等于此处的·面积*高 作和：把每一小块的体积加起来，作为曲顶柱体的体积 取极限：设λ，λ趋近于0，使每一个体积趋近于最 阅读全文
posted @ 2025-03-14 18:14 Toby0919 阅读(50) 评论(0) 推荐(0)
3.12 拉格朗日乘数法（条件极值）
摘要：1 求最大值，最小值 1.1 条件极值 1.2 拉格朗日数乘法推导 下图可看成是一个四元函数的偏导数 即可构造出拉格朗日函数 总结： 1.构造拉格朗日函数 原函数+λ条件函数 2.求拉格朗日函数的偏导，另其等于0 3.求出x0,y0,z0 1.3 例题 有时候可以求等价最大小/值（便于求导） 可等价 阅读全文
posted @ 2025-03-12 20:29 Toby0919 阅读(497) 评论(0) 推荐(0)
3.8 多元函数的极值和极值条件
摘要：1.1 定理 1.2 定义 极大值 极值处偏导为0，反之则不成立（取到极值的必要条件） 证明过程 把二元函数视为两个一元函数的交叉 1.3 取到极值的充分条件 驻点： （和一元函数类似） 定理： 1.4 例题 先求出一阶偏导为0的点（判断一阶偏导在此处有无定义），再求二阶偏导，利用公式判断是否是极值 阅读全文
posted @ 2025-03-08 21:02 Toby0919 阅读(242) 评论(0) 推荐(0)
3.6-3.7 隐函数的偏导数 & 方向导数
摘要：1.1 定义 1.1.1 隐函数的定义：如果Z不能用X,Y表示，称为隐函数 1.2 分析 若F(x,y,z)=0;确定Z=z(x,y) 原式=F(x,y,z(x,y))， 即可得到上图的结论 tip:在外层函数连续的情况下，对哪个变量的偏导数不为0，哪个变量就作为因变量。 1.3 例题 1.3.1 阅读全文
posted @ 2025-03-06 14:53 Toby0919 阅读(339) 评论(0) 推荐(0)
3.1 多元函数的全微分
摘要：1 多元函数的全微分 1.1 定义 1.1.1 回顾一元函数的微分 1.1.2 多元函数的定义 1.1.3 可微推导连续 但连续不一定可微，证明如下： 若连续一定可微，又一元函数必满足二元函数的性质，又一元函数可微必可导，可推至连续必可导，矛盾 1.2 多元函数可微的必要条件 1.2.1 可微必可导 阅读全文
posted @ 2025-03-01 18:54 Toby0919 阅读(79) 评论(0) 推荐(0)
2.28 高阶偏导数
摘要：一.高阶偏导数 1.1 (哪个在前面就对哪个求偏导） 1.2 不同顺序的二阶偏导数相等 tips:计算时可常用还原简化计算量（转化成复合函数求导） 阅读全文
posted @ 2025-02-28 12:29 Toby0919 阅读(77) 评论(0) 推荐(0)