微积分期末复习

一 曲面积分
1 第一类曲面积分（按顺序思考）
1.1 解题方法：
a.利用对称性化简（轮换对称性也要考虑（x,y,z地位是否相等））
b.化为二重积分，代入S表达式（投影到某个平面）

球的投影（可以作为二级结论记一下）
c.形如∫∫f(x)ds （函数里只与单一变量有关） S为XOY平面绕X轴旋转体的侧面，可化为定积分∫……dx

例题：

比如说这题函数内只与z有关，就考虑原图形能不能换成YOZ平面，绕Z轴旋转体的侧面；
然后考虑对每个dz，侧面积的面积等于？（近似于弧面圆柱的表面积）（利用微积分1的知识，弧长=dz*（1+(dy/dz)^2））1/2，侧面积就再×2Πy,就转化成了求定积分问题

d.化为第二类曲面积分
∫∫Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫(Pcosa+Qcosβ+Rcosγ)ds（反向运用公式）
（利用法向量的单位向量）
2 第二类曲面积分（要根据法向量和投影到坐标轴的方向决定）（如果投影到XOY平面，则S的法向量向上为正，向下为负）（前后左右上下代表和x,y,z轴的夹角）
2.1 解题方法：
a.利用对称性化简
b.化为二重积分，代入S表达式（投影到某个平面）
c.化为第一类曲面积分（公式如上）
d.更换投影面
∫∫pdydz+Qdxdz+Rdxdy=±∫∫P(x,y,z(x,y))(-z'x)dxdy+……
e.高斯公式，化为三重积分（如果表达式比较丑陋）

曲线积分
1.如果能化成参数方程优先化为参数方程

tip:利用斯托克斯公式时候常数不影响最终值（）斯托克斯之后化成ds）
tip2:第二类曲线积分也可以利用斯托克斯公式判断是否与路径无关

幂级数计算

正项级数、任意项（先莱布尼兹再狄利克莱）判断
1.先看极限是不是等于0
2.看分子分母最高次项项数差（根据这个决定是用比较判别法还是比值判别法还是根式判别法）
3.如果符合等价无穷小形式则用等价无穷小（忽略前面有限项）
4.如果不是从1开始求和/其它方法都不行，考虑转化成积分形式
5.如果an为多项式（尤其是P（x）-Q(x)）考虑泰勒公式
tips:
1.分母出现（-1）^{n考虑将（-1）}n化到分子上
2.如果分子出现cos/sin（代表有界），另一是单调趋于0，就用dilikelai判别法
3.如果分子是|cos/sin|，考虑再×一个相同的，然后构造出1-cos这样的形式（一般是一个收敛一个发散）
4.如果出现an和sn，优先考虑把an都换成Sn
5.部分和数列有上界，原级数收敛
6.有时候需要一些放缩技巧
难题：
1.

函数项级数
收敛域判断（比值/根式）
注意：

注意计算时候的收敛域（尤其涉及到换元的时候）
注意如果要求在某一点处的展开，需要把所有的x都聚焦到x-1
注意包括在收敛域内的，但是计算中出现取不到的情况需要单独讨论
泰勒级数要注意是从几开始加的，如果需要换元记得起点也需要改变

广义积分敛散性（首先考虑可能都奇点）
1.如果有明确标志1（作为分界点），一般与1/n做比较（一般只有+无穷或者0为奇点）
2.如果没有（一般有两个奇点），则把原式子拆成两个式子
3.奇点是无穷大和非无穷大的柯西判定条件不一样（一个是＞1，一个是0<p<1）
4.一般就两种方法（比较/柯西）
5.如果fx里面有不确定因素，则需要分类讨论

傅里叶级数(先看原式子是奇函数/偶函数)
1.求傅里叶级数的和函数->狄利克莱法则（非间断点等于，间断点等于x+和x-/2）
2.如果定义域不是（-π，π）的，要进行延拓（）修改：如果出现某一项必须的为0的时候需要延拓（如正弦/余弦级数）））

微分方程
1.注意奇解
2.换元，伯努利方程、全微分
二阶非齐次beita
1.x^K（实数：k为u的重根个数，虚数是u+βi(β是cosβx)）；2.p(x)根据fx决定（虚数还要分别加上cosβx和sinβx）