3.6-3.7 隐函数的偏导数 & 方向导数

1.1 定义
1.1.1 隐函数的定义：如果Z不能用X,Y表示，称为隐函数

1.2 分析
若F(x,y,z)=0;确定Z=z(x,y)
原式=F(x,y,z(x,y))，
即可得到上图的结论
tip:在外层函数连续的情况下，对哪个变量的偏导数不为0，哪个变量就作为因变量。

1.3 例题
1.3.1 例1（三种解法）


1.3.2 例2 （上一例题中法3（求微分）的优越性）


总结：用结论求偏导和用微分求偏导较为方便（即例1的法一和法三）

1.4 方程组确定隐函数求偏导
1.4.1 利用克莱姆法则

1.4.2 利用微分
微分中dx，dy前面的系数就是某一变量对另一变量求偏导的值

2.方向导数
2.1 定义

注：函数沿任何方向的方向导数都存在并不能推出该函数偏导数存在（方向导数都是求射线，而偏导数是0+和0-）
2.2 定理（函数在某一点可微即可推出函数在这一点方向导数存在）

证明过程：

2.3 求
2.3.1 如果求分片函数在孤立点的方向向量一般用方向导数的定义
2.4 梯度
2.4.1 定义
沿梯度的方向导数最大
垂直时为0