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摘要： 若函数 \(f\) 在 \(x = c\) 处有一个局部最大值或局部最小值，则 \(f\) 在 \(x = c\) 处不可导或者 \(f'(c)=0\) 。 比如说 \(f\) 在 \(x = c\) 处是个尖角，那么肯定就不可导。 若可导，不妨令是最大值（最小值类似）则说明 \[\lim_{h\t 阅读全文

摘要： \[\lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x} = 0 \]第一种推导方法：使用勾股定理。 \[\begin{align*} \lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x}\c 阅读全文

摘要： 根据 \(\cos(x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y\) 和 \(\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\)（具体看这里）。 我们可以得到 \(\cos 2x = \cos(x + x) = \cos^2x - \s 阅读全文

摘要： \[\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]因为 \(y = \sin x\) 关于坐标轴原点中心对称，所以我们只需要证明 \[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1 \]就行。 我们先规定， \(0 < x < \dfrac{\ 阅读全文

摘要：  阅读全文

摘要： 我们引入 \((1 + t)^n,n\in\mathbb{R}\) 这个东西。 若 \(t = -1\)，当 \(n\leq 0\) 时，这个东西没有意义，否则他是 \(0\)。 若 \(t = 1\)，我们显然不用展开了。 若 \(|t| < 1\) 时。 我们使用麦克劳林公式（泰勒展开的 \(x 阅读全文

摘要： 积分第一中值定理： 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 连续，且 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 可积且不变号（始终非负或始终非负），那么存在 \(c\in [a,b]\)，使得 \[\int^b_af(x)g(x)\text{d}x = f(c)\int^b_ag(x)\te 阅读全文

摘要： 假设 \(f(x)\) 有 \(N\) 阶导。 我们不妨令 \(x\geq x_0\)。 \[f(x) = f(x_0) + \int^x_{x_0}f'(t)\text{d}t \]然后我们换一下积分变量。 \[f(x) = f(x_0) + \int^x_{x_0}f'(t)\text{d}(t 阅读全文

摘要： 题面： 这场打得很飞舞，\(40pts,rk54\)。 T1 这道题比较考验思维。 我们可以考虑每个点是从最初序列的哪个位置转移过来了（记为 \(from\)）。 不难发现，如果最终序列中的几个位置的 \(from\) 相等，那么这几个位置代表的数的和肯定模 \(10\) 同余于 \(from\) 阅读全文

摘要： 题面： 今天有点 fvv，只是 \(110pts,rk124\)。 T1 这道题是签到题，显然不用说。 T2 这道题比较难想。 我们先考虑这个给的数据范围啥意思。 \(2e5\) 大概率是 \(\mathcal{O}(n)\) 或 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。 然后到了 noi 阅读全文