复数的三角不等式和反向三角不等式

三角不等式：\(|z_1\pm z_2|\leq |z_1| + |z_2|\)。

我们不妨令 \(z_1 = a + bi, z_2 = c + di\)。

然后我们先证 \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)。

即 \(\sqrt{(a + c)^2 + (b + d)^2}\leq \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2}\)。

转化一下，两边同时平方（都是非负数），得 \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ac + bd)\leq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}\)。

由柯西不等式，\((ac + bd)^2\leq (a^2 + b^2)(c^2 + b^2)\)，即 \(ac + bd\leq \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}\)。

得到原来这个式子肯定是成立的。

那 \(z_1 - z_2\) 呢？

不难发现，\(z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)\)，且 \(|-z_2| = |z_2|\)，则一定是正确的。

反三角不等式：\(||z_1| - |z_2||\leq |z_1\pm z_2|\)。

还是先证明 \(z_1 + z_2\)。

首先 \(|z_1| = |(z_1 + z_2) - z_2|\leq |z_1 + z_2| + |z_2|\)（三角不等式），即 \(|z_1| - |z_2|\leq |z_1 + z_2|\)。

其次 \(|z_2| = |(z_2 + z_1) - z_1|\leq |z_1 + z_2| + |z_1|\)（三角不等式），即 \(|z_2| - |z_1|\leq |z_1 + z_2|\)。

综上，\(||z_1| - |z_2||\leq |z_1 + z_2|\)。

对于 \(z_1 - z_2\)，我们类似地去证明。

首先 \(|z_1| = |(z_1 - z_2) + z_2|\leq |z_1 - z_2| + |z_2|\)，得到 \(|z_1| - |z_2|\leq |z_1 - z_2|\)。

其次 \(|z_2| = |(z_2 - z_1) + z_1|\leq |z_1 - z_2| + |z_1|\)，得到 \(|z_2| - |z_1|\leq |z_1 - z_2|\)。

综上，\(||z_1| - |z_2||\leq |z_1 - z_2|\)。

我们把三角不等式和反向三角不等式连在一起，就得到了一个较为完整的不等式：

\[||z_1| - |z_2||\leq |z_1\pm z_2|\leq |z_1| + |z_2| \]